旋轉軸方向為 \(r_0=[1,2,3]^T\)，旋轉角為 \(\alpha=1.5\) radians。講義指定：
\[s=\frac{\bar s}{\|\bar s\|}\]
\[t=r\times s\]
\[M=\begin{bmatrix}r^T\\s^T\\t^T\end{bmatrix}\]
\[X=M^TR_x(\alpha)M\]
先不要代數字。先理解任務：建立一套以旋轉軸 \(r\) 為第一軸的正交座標系，再於該座標系繞 x 軸旋轉，最後轉回原座標。
0
先判斷：題目的 r 能直接使用嗎？
目標：讓旋轉軸成為長度為 1 的單位向量。
- 題目給的是「方向」\(r_0=(1,2,3)^T\)，不一定是單位向量。
- 計算長度：把各分量平方、相加，再開根號。
\[\|r_0\|\]
\[=\sqrt{1^2+2^2+3^2}\]
\[=\sqrt{14}\]
所以要以長度除每個分量：
\[r=\frac{r_0}{\|r_0\|}\]
\[=\frac1{\sqrt{14}}\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\]
為什麼要正規化？ 後面需要讓 \(r,s,t\) 成為正交「單位」基底，才能使用 \(M^{-1}=M^T\)。
1
依講義規則建立 s
目標：找一個與 \(r\) 垂直，而且長度為 1 的向量。
- 比較 \(|r_x|,|r_y|,|r_z|\)。因為三項都有相同分母 \(\sqrt{14}\)，只需比較 \(1,2,3\)。
- 最小的是 \(|r_x|\)，所以將 x 分量設為 0。
- 交換剩下的 y、z 分量，再將交換後的第一項取負。
\[\bar s=(0,-r_z,r_y)^T\]
\[=\frac1{\sqrt{14}}(0,-3,2)^T\]
接著求 \(\bar s\) 的長度。共同因子會在正規化時消去，因此可直接正規化 \((0,-3,2)^T\)：
\[\sqrt{0^2+(-3)^2+2^2}=\sqrt{13}\]
\[s=\frac1{\sqrt{13}}\begin{bmatrix}0\\-3\\2\end{bmatrix}\]
立即檢查垂直：分子內積為 \(1(0)+2(-3)+3(2)=0\)，所以 \(r\cdot s=0\)。
2
以外積建立第三個方向 t
目標：找同時垂直於 \(r\) 與 \(s\) 的第三個單位向量。
\[t=r\times s\]
\[=\frac1{\sqrt{14}\sqrt{13}}\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\1&2&3\\0&-3&2\end{vmatrix}\]
分別展開三個分量：
- x 分量：\(2(2)-3(-3)=4+9=13\)
- y 分量：\(-[1(2)-3(0)]=-2\)
- z 分量：\(1(-3)-2(0)=-3\)
\[t=\frac1{\sqrt{182}}\begin{bmatrix}13\\-2\\-3\end{bmatrix}\]
因 \(r\) 與 \(s\) 已互相垂直且皆為單位向量，\(\|r\times s\|=\|r\|\|s\|\sin90^\circ=1\)，所以不需再次正規化。
3
把三個基底組成 M
依講義，\(r^T,s^T,t^T\) 分別放在三個「橫列」：
\[M=\begin{bmatrix}r^T\\s^T\\t^T\end{bmatrix}\]
\[M=\begin{bmatrix}\frac1{\sqrt{14}}&\frac2{\sqrt{14}}&\frac3{\sqrt{14}}\\0&-\frac3{\sqrt{13}}&\frac2{\sqrt{13}}\\\frac{13}{\sqrt{182}}&-\frac2{\sqrt{182}}&-\frac3{\sqrt{182}}\end{bmatrix}\]
轉置時，只要把橫列改成直行：
\[M^T=\begin{bmatrix}\frac1{\sqrt{14}}&0&\frac{13}{\sqrt{182}}\\\frac2{\sqrt{14}}&-\frac3{\sqrt{13}}&-\frac2{\sqrt{182}}\\\frac3{\sqrt{14}}&\frac2{\sqrt{13}}&-\frac3{\sqrt{182}}\end{bmatrix}\]
觀念：因三個橫列互相垂直且長度為 1，所以 \(MM^T=M^TM=I\)。因此 \(M^{-1}=M^T\)。
4
在新座標系繞 x 軸旋轉
在 \((r,s,t)\) 座標系中，第一軸就是旋轉軸 \(r\)，因此使用標準 x 軸旋轉矩陣：
\[R_x(\alpha)=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\0&\sin\alpha&\cos\alpha\end{bmatrix}\]
\[\cos(1.5)\approx0.070737\]
\[\sin(1.5)\approx0.997495\]
\[R_x(1.5)\approx\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0.070737&-0.997495\\0&0.997495&0.070737\end{bmatrix}\]
矩陣右側的 \(M\) 先作用，把原座標轉成新基底座標；中間的 \(R_x\) 執行旋轉；左側的 \(M^T\) 再轉回原座標。
5
分兩階段做矩陣乘法
不要一次乘三個矩陣。先算 \(A=R_x(1.5)M\)，再算 \(X=M^TA\)。
5-1 先算 A
矩陣乘法規則是「左矩陣的橫列」乘「右矩陣的直行」。例如 \(A_{21}\)：
\[A_{21}=0(0.267261)+0.070737(0)-0.997495(0.963624)\]
\[A_{21}\approx-0.961210\]
依相同方法完成九個位置：
\[A=R_x(1.5)M\]
\[A\approx\begin{bmatrix}0.267261&0.534522&0.801784\\-0.961210&0.089022&0.261056\\0.068164&-0.840453&0.537580\end{bmatrix}\]
5-2 再算 X
現在計算 \(X=M^TA\)。示範第一列的三個元素：
\[X_{11}=0.267261(0.267261)+0(-0.961210)+0.963624(0.068164)\]
\[X_{12}=0.267261(0.534522)+0(0.089022)+0.963624(-0.840453)\]
\[X_{13}=0.267261(0.801784)+0(0.261056)+0.963624(0.537580)\]
其餘兩列依完全相同方式計算。請先自行完成，再按下按鈕核對。
\[X=M^TR_x(1.5)M\]
\[X\approx\begin{bmatrix}0.137113&-0.667023&0.732311\\0.932527&0.336241&0.131664\\-0.334056&0.664847&0.668120\end{bmatrix}\]
6
最後不要只看數字，要驗證
- 軸不變：應滿足 \(Xr=r\)。這表示位於旋轉軸上的向量不會被移動。
- 保持長度：應滿足 \(X^TX=I\)。這表示旋轉不會拉長或壓縮物體。
- 右手旋轉：應滿足 \(\det(X)=1\)。
- 跡的檢查：三維旋轉矩陣滿足 \(\operatorname{tr}(X)=1+2\cos\alpha\)。
\[\operatorname{tr}(X)\approx0.137113+0.336241+0.668120\]
\[\approx1.141474\]
\[1+2\cos(1.5)\approx1.141474\]
兩者一致，配合 \(Xr=r\)、\(X^TX=I\) 與 \(\det X=1\)，可確認計算結果合理。
所有小數保留至 6 位，因此手算驗證時可能出現約 \(10^{-6}\) 的四捨五入誤差。