康普頓散射基本概念與核心公式
光子損失的能量 = 電子的動能
- • 高能 X 射線光子與靜止電子發生完全彈性碰撞，入射能量守恆：
根據 \(E = \frac{hc}{\lambda}\)，光子能量降低導致出射波長大於入射波長（\(\lambda' > \lambda\)）。因此在倒數相減時，短波長的倒數更大：\(\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) > 0\)。
波長變化量與康普頓波長定義
- • 碰撞後光子產生的波長改变量 \(\Delta\lambda = \lambda' - \lambda\)，可由直式公式表示：
物理核心結論：波長增量 \(\Delta\lambda\) 僅取決於散射角 \(\phi\)，與入射光原始波長 \(\lambda\) 以及靶材料種類完全無關！
原始題目敘述與已知條件
波長 10.0 pm 的 \(\text{X}\) 射線由一個靶中散射出來：
已知物理常數與規格整理
康普頓散射粒子碰撞動態模擬
拖動散射角滑桿，觀察高能 X 射線光子與靶電子碰撞後，波長紅移與電子反彈反衝！
直式視覺公式・顏色對照詳細解析
公式中每個物理量分配專屬顏色標記，直式繁分數對齊，一步步拆解代入與計算邏輯！
求出經過 \(45^\circ\) 散射的 \(\text{X}\) 射線波長 \(\lambda'\)
使用康普頓散射波長位移公式：\(\lambda' - \lambda = \lambda_C (1 - \cos\phi)\)
將散射角 \(\phi = 45^\circ\) 代入三角函數，求出括號中的因子：
乘上電子的康普頓波長 \(\lambda_C \approx 2.43\text{ pm}\)：
將初始波長 \(\lambda = 10.0\text{ pm}\) 加上波長增量：
求出在散射 \(\text{X}\) 射線中的極大波長 \(\lambda'_{\max}\)
當角度因數 \((1 - \cos\phi)\) 達到極大值時（即背向散射 \(\phi = 180^\circ\)）
因為 \(-1 \le \cos\phi \le 1\)，所以當 \(\cos\phi = -1\)（即散射角 \(\phi = 180^\circ\)，光子完全反彈）時，波長位移最大：
波長最大改变量為兩倍康普頓波長：
求出反彈電子的極大動能 \(\text{KE}_{\max}\)
根據能量守恆：入射光子能量減去散射光子能量 = 傳遞給電子的反衝動能
電子獲得最大動能，發生在光子損失最多能量的時候（即波長增加最多、散射波長最長的 \(\lambda' = 14.9\text{ pm}\) 時）：
將普朗克常數 \(h = 6.626 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}\)、光速 \(c = 3.00 \times 10^8\text{ m/s}\) 與兩波長代入直式公式：
康普頓散射動態即時計算機
自由變更初始波長與散射角，即時驗算波長增量 \(\Delta\lambda\)、散射波長 \(\lambda'\) 與電子動能
碰撞與波長變長的本質
光子與靜止電子發生完全彈性碰撞。電子獲得動能往後反衝，這筆能量必然由入射光子提供。根據 \(E = \frac{hc}{\lambda}\)，光子能量降低導致頻率變小，波長必然變長（紅移），且增量只取決於散射角度，與靶材料完全無關！
為什麼 \(\phi = 180^\circ\) 動能最大？
當 \(\phi = 180^\circ\) 時為正碰直接反彈（Backscattering）。光子沿原路折回，動量變化量最大（\(\Delta p \approx 2p\)），此時轉移給電子的動量與動能達到物理極限，波長增量也達到最大值 \(2\lambda_C \approx 4.9\text{ pm}\)。
計算時的致命單位陷阱
- • 皮米單位轉換：\(1\text{ pm} = 10^{-12}\text{ m}\)，分母常寫成 \(10^{-12}\text{ m/pm}\) 統一括號內的倒數項。
- • 倒數相減順序：\(\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right)\)，因為 \(\lambda' > \lambda\)，所以是短波長減長波長才為正動能。
- • 康普頓波長定義：\(\lambda_C = \frac{h}{m_e c} \approx 2.426\text{ pm}\)。