量子力學疊加態、測量機率與能量期望值詳細證明

量子態疊加原理 (Superposition Principle) & 測量假設

從「範例」深入解析「練習四」：波函數歸一化、測量機率與期望值

本單元探討量子力學中最根本的三大操作：「如何利用總機率為 1 決定歸一化常數 $C$」、「波恩定則（Born's Rule）計算本徵值測量機率」，以及「大量同態測量下的物理量期望值 $\langle E \rangle$」。

練習四・標準答案速查填空卡（考試作業填答可直接參照）

數學檢驗：100% 精確吻合

【第 (1) 小題答案】

歸一化常數 $C$

$$C = \frac{1}{\sqrt{5725}} = \frac{1}{5\sqrt{229}}$$

小數形式：$C \approx 0.01322$

【第 (2) 小題答案】

測得能量 $1\text{ eV}$ 的機率

$$P(E_1) = \frac{2809}{5725}$$

百分比：$\approx 49.07\%$ (小數 $0.4907$)

【第 (3) 小題答案】

測量所得之能量「期望值」

$$\langle E \rangle = \frac{8641}{5725}\text{ eV}$$

小數形式：$\approx 1.509\text{ eV}$ (或 $1.51\text{ eV}$)

範例解析：為什麼範例不用求 $C$？

基底：正交歸一態 $\langle \psi_i | \psi_j \rangle = \delta_{ij}$

【範例條件】

態向量：$\Psi = \frac{3}{5}\psi_1 + \frac{4}{5}\psi_2$

本徵值：$E_1 = 1\text{ eV}, \quad E_2 = 2\text{ eV}$

💡 關鍵觀察： 係數平方和：$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$。此波函數**本身就已經歸一化**，因此不需要乘以常數 $C$！

【範例解法步驟】

1. 測得 $2\text{ eV}$ 的機率：

$$P(E_2) = |c_2|^2 = \left|\frac{4}{5}\right|^2 = \frac{16}{25} = 0.64$$

2. 能量期望值（加權平均）：

$$\langle E \rangle = P(E_1)E_1 + P(E_2)E_2 = (0.36)(1) + (0.64)(2) = 1.64\text{ eV}$$

公設 1：態疊加原理

系統波函數可展開為本徵態的線性組合：$\Psi = \sum c_n \psi_n$。

公設 2：波恩定則 (Born's Rule)

測量得到本徵值 $E_n$ 的機率為該項展開係數之模平方：$P(E_n) = |c_n|^2$。

公設 3：物理量期望值

大量相同態的測量平均值：$\langle E \rangle = \sum P(E_n) E_n = \langle \Psi | \hat{H} | \Psi \rangle$。

練習四・嚴格條列推導

三大小題直式逐步拆解（學生一目了然）

第 (1) 小題：由總機率等於 1 求解歸一化常數 $C$

歸一化條件 (Normalization)

題目給定系統狀態為： $$\Psi = C(53\psi_1 + 54\psi_2) = (53C)\psi_1 + (54C)\psi_2$$ 由於 $\psi_1$ 與 $\psi_2$ 為正交歸一化本徵態（即 $\langle \psi_1|\psi_1 \rangle = 1$、$\langle \psi_2|\psi_2 \rangle = 1$、$\langle \psi_1|\psi_2 \rangle = 0$），系統在全空間中被發現的總機率必須等於 $1$：

$$P_{\text{total}} = |c_1|^2 + |c_2|^2 = |53C|^2 + |54C|^2 = 1$$

【直式平方計算拆解】

計算 $53^2$：

$$53^2 = (50 + 3)^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809$$

計算 $54^2$：

$$54^2 = (50 + 4)^2 = 2500 + 400 + 16 = 2916$$

$$|C|^2 \left( 53^2 + 54^2 \right) = |C|^2 (2809 + 2916) = |C|^2 \times 5725 = 1$$

兩邊同除以 $5725$，並取正實數常數（一般約定波函數的整體相位為實數）：

$$|C|^2 = \frac{1}{5725} \implies C = \frac{1}{\sqrt{5725}} = \frac{1}{5\sqrt{229}} \approx 0.013216$$

💡 因數分解小補充： $5725$ 的末兩位為 $25$，可被 $25$ 整除：$5725 = 25 \times 229$。因此 $\sqrt{5725} = \sqrt{25 \times 229} = 5\sqrt{229}$（其中 $229$ 為質數）。考試填寫 $\frac{1}{\sqrt{5725}}$ 或 $\frac{1}{5\sqrt{229}}$ 皆為標準滿分答案。

第 (2) 小題：測得能量為 $1\text{ eV}$ 的機率

波恩測量定則 (Born's Rule)

將求得之歸一化常數 $C = \frac{1}{\sqrt{5725}}$ 代回波函數，寫出標準正規化的態向量：

$$\Psi = \underbrace{\left( \frac{53}{\sqrt{5725}} \right)}_{c_1} \psi_1 + \underbrace{\left( \frac{54}{\sqrt{5725}} \right)}_{c_2} \psi_2$$

能量 $E_1 = 1\text{ eV}$ 所對應的本徵態為 $\psi_1$。根據波恩定則，對該系統測量能量時，測得能量本徵值 $E_1$ 的機率 $P(E_1)$ 等於基底態 $\psi_1$ 前面係數 $c_1$ 的絕對值平方（模平方）：

$$P(E_1 = 1\text{ eV}) = |c_1|^2 = \left| \frac{53}{\sqrt{5725}} \right|^2 = \frac{53^2}{5725} = \frac{2809}{5725}$$

直式化為小數與百分比： $$\frac{2809}{5725} \approx 0.490655 \approx 0.4907 \quad (\text{約 } 49.07\%)$$

同理可檢驗測得 $E_2 = 2\text{ eV}$ 的機率：$P(E_2) = \frac{54^2}{5725} = \frac{2916}{5725} \approx 0.5093$ ($50.93\%$) 兩者總和恰好為 100%

第 (3) 小題：大量測量所得之能量「期望值」$\langle E \rangle$

統計加權平均

題目敘述：「對大量完全相同的該系統進行相同能量測量」。在量子力學中，這即為**物理量期望值（Expectation Value）**的嚴格物理意義——它並不是單次測量會測到的值，而是系綜（Ensemble）測量結果的統計加權平均值：

$$\langle E \rangle = P(E_1) \cdot E_1 + P(E_2) \cdot E_2$$

【方法一：分數精確通分法（標準解題）】

$$\langle E \rangle = \left(\frac{2809}{5725}\right)(1\text{ eV}) + \left(\frac{2916}{5725}\right)(2\text{ eV})$$ $$= \frac{2809 \times 1 + 2916 \times 2}{5725}\text{ eV}$$ $$= \frac{2809 + 5832}{5725}\text{ eV} = \frac{8641}{5725}\text{ eV}$$

【方法二：速算巧解法（考試節省時間）】

因為 $E_1 = 1$, $E_2 = 2$，可將 $E_2$ 拆成 $1 + 1$： $$\langle E \rangle = 1 \cdot [P(E_1) + P(E_2)] + 1 \cdot P(E_2)$$ $$= 1 + P(E_2) = 1 + \frac{2916}{5725}$$ $$= 1 + 0.509345 = 1.509345\text{ eV}$$

✨ 只需計算一次除法，大幅降低算錯機率！

$$\langle E \rangle = \frac{8641}{5725}\text{ eV} \approx 1.5093\text{ eV} \approx 1.51\text{ eV}$$

💡 物理直觀檢驗： 因為 $53$ 與 $54$ 數值非常接近（各佔約 $50\%$ 機率），因此測量結果平均下來必定非常接近中點 $\frac{1 + 2}{2} = 1.5\text{ eV}$，且因 $54 > 53$（高能態比重稍大），期望值略大於 $1.5\text{ eV}$（為 $1.5093\text{ eV}$），這證明我們的計算完全合理！

實作互動實驗室

量子態疊加參數計算機與波函數塌縮模擬

快速載入題目：

ψ₁ 係數 (a)： 53

ψ₂ 係數 (b)： 54

【歸一化常數 C】

1 / √5725

≈ 0.01322

【測得 1 eV 機率 P(E₁)】

49.07%

2809 / 5725

【測得 2 eV 機率 P(E₂)】

50.93%

2916 / 5725

【能量期望值 ⟨E⟩】

1.5093 eV

8641 / 5725 eV

狀態 1 (E₁ = 1 eV) 比重狀態 2 (E₂ = 2 eV) 比重

量子測量模擬器（驗證「大量完全相同系統」之大數法則）

每次測量波函數隨機塌縮至本徵態 $1\text{ eV}$ 或 $2\text{ eV}$

總測量次數 N

測得 1 eV 次數

0 (0.0%)

測得 2 eV 次數

0 (0.0%)

實驗平均值 (⟨E⟩ 實驗)

- eV

尚未進行測量。點擊「單次測量」體驗量子塌縮，或點擊「模擬 1,000 次測量」觀察實驗平均值如何收斂到理論期望值！

「範例」與「練習四」題目結構對比矩陣

比較項目	範例 (Example)	練習四 (Exercise 4)	解題關鍵差異點
波函數形態	$\frac{3}{5}\psi_1 + \frac{4}{5}\psi_2$	$C(53\psi_1 + 54\psi_2)$	練習四未歸一化，須先解 $C$
歸一化常數 $C$	$1$ (已歸一化)	$\frac{1}{\sqrt{5725}}$	$53^2 + 54^2 = 5725$
測得 $1\text{ eV}$ 機率	$\frac{9}{25} = 0.36$ ($36\%$)	$\frac{2809}{5725} \approx 0.4907$ ($49.07\%$)	練習四兩能態比重幾乎相等
測得 $2\text{ eV}$ 機率	$\frac{16}{25} = 0.64$ ($64\%$)	$\frac{2916}{5725} \approx 0.5093$ ($50.93\%$)	$2\text{ eV}$ 機率略高於 $1\text{ eV}$
能量期望值 $\langle E \rangle$	$1.64\text{ eV}$	$\frac{8641}{5725} \approx 1.5093\text{ eV}$	偏向比重大的本徵值側