量子物理基礎理論 • 高中物理與普通物理精選

波爾氫原子模型完整條列式推導

從庫倫力向心力平衡與角動量量子化假設出發，嚴格推導軌道半徑 $r_n$、能階總能量 $E_n$，並完整給出基態能量 $E_1$ 的純數值運算過程。

課本練習題目

練習三：題目給定條件與提示

試由下列提示分別推導出波爾氫原子模型的 1. 軌道半徑 $r_n$ 與 2. 總能量公式 $E_n = K + U$：

1. 軌道半徑量子化提示

(1) 庫倫力作為向心力：

$$F_e = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} = \frac{m v^2}{r}$$

(2) 角動量量子化：

$$L = r m v = \frac{n h}{2\pi}$$

2. 能階量子化提示

電子動能：

$$K = \frac{m v^2}{2} = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$$

電子庫倫位能：

$$U = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$$

第一部分

1. 軌道半徑量子化公式（$r_n$）詳細條列推導

步驟 1 向心力平衡方程式

列出庫倫力提供為圓周運動向心力之等式

電子帶負電荷 $-e$、質量為 $m$、以速率 $v$ 繞帶正電荷 $+e$ 之氫原子核作半徑為 $r$ 的等速圓周運動：

$$\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} = \frac{m v^2}{r}$$

等號兩邊同乘以 $r$，可整理出速度平方項的關係式：

$$m v^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \quad \cdots\cdots \text{ (式 1)}$$

步驟 2 波爾量子化假設

引入角動量量子化條件

波爾提出電子僅能在特定的「定態軌道」上穩定運轉，其軌道角動量 $L$ 必須為 $\frac{h}{2\pi}$（即約化普朗克常數 $\hbar$）的正整數倍：

$$L = m v r = \frac{n h}{2\pi} \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \quad \cdots\cdots \text{ (式 2)}$$

其中 $n$ 為主量子數（Principal Quantum Number），$h$ 為普朗克常數。

步驟 3 消去未知變數

將速度 $v$ 整理並平方

由 (式 2) 移項將電子運動速率 $v$ 用軌道半徑 $r$ 及量子數 $n$ 表示：

$$v = \frac{n h}{2\pi m r}$$

將上式兩邊平方，以便代回 (式 1)：

$$v^2 = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^2} \quad \cdots\cdots \text{ (式 3)}$$

步驟 4 代入聯立解出半徑

將 (式 3) 代入 (式 1) 解出半徑 $r$

把 $v^2$ 的表示式帶回向心力關係式 $m v^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$：

$$m \cdot \left( \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^2} \right) = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$$

消去左式的質量 $m$：

$$\frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m r^2} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$$

等號兩邊同乘以 $4\pi r^2$：

$$\frac{n^2 h^2}{\pi m} = \frac{e^2 r}{\epsilon_0}$$

將半徑 $r$ 獨立在等號一側，並標記第 $n$ 能階下標 $r_n$：

★ 軌道半徑量子化最終公式

$$r_n = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m e^2} \cdot n^2 = a_0 \cdot n^2 \quad \left( r_n \propto n^2 \right)$$

當 $n = 1$ 時的最小半徑稱為波爾半徑（Bohr Radius）：$a_0 = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m e^2} \approx 0.529 \text{ \AA} = 5.29 \times 10^{-11} \text{ m}$。

第二部分

2. 總能量公式（$E_n = K + U$）詳細條列推導

步驟 1 動能關係式

由向心力關係求出電子動能 $K$

根據圓周運動向心力 $m v^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$，將兩邊同乘以 $\frac{1}{2}$ 即可得到電子動能：

$$K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$$

步驟 2 位能關係式

求出電子庫倫電位能 $U$

以無窮遠處為電位能零點（$U_\infty = 0$），在半徑為 $r$ 處質子（$+e$）與電子（$-e$）之庫倫靜電位能為：

$$U = \int_\infty^r \vec{F}_e \cdot d\vec{r} = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$$

步驟 3 力學能疊加與維里定理

計算系統總能量 $E = K + U$

將動能與位能相加，進行通分（公分母為 $8\pi\epsilon_0 r$）：

$$E = K + U = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r} + \left( -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \right) = \frac{e^2 - 2e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$$

$$E = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$$

💡 維里定理（Virial Theorem）： 於反平方反比吸引力場中，永遠滿足 $E = -K = \frac{1}{2}U$。總能量必為負值，代表受吸引束縛。

步驟 4 代入量子化半徑

將半徑 $r_n$ 代入總能量公式中

將第一部分推得之 $r_n = \frac{\epsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2}$ 代入總能公式：

$$E_n = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 \left( \dfrac{\epsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2} \right)}$$

分式除法化簡（上下分子分母相乘翻轉）：

$$E_n = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0} \cdot \frac{\pi m e^2}{\epsilon_0 h^2 n^2}$$

約去常數 $\pi$，將相同物理量合併：

★ 總能量量子化最終公式

$$E_n = -\frac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2} \quad \left( E_n \propto -\frac{1}{n^2} \right)$$

此處負號代表電子受原子核庫倫力拘束（束縛態）。當 $n \to \infty$ 時，$E_\infty = 0$，表示電子脫離原子核成為自由電子。

專題加分題詳解

★ 基態總能量 $E_1$ 的純數值代入運算與物理意義

加分題題目

試由總能量量子化通式 $E_n = -\frac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^2 n^2}$，令主量子數 $n = 1$（基態 Ground State），代入國際標準公制（SI）物理常數，完整列出運算步驟求出基態能量 $E_1$ 之焦耳（$\text{J}$）值，並換算為電子伏特（$\text{eV}$）。

標準解答速覽

-13.60 eV

$-2.18 \times 10^{-18} \text{ J}$

需使用之基本物理常數表（SI 制精確值）

電子靜止質量 $m$：

$9.109 \times 10^{-31}\text{ kg}$

基本電荷量 $e$：

$1.602 \times 10^{-19}\text{ C}$

真空介電常數 $\epsilon_0$：

$8.854 \times 10^{-12}\text{ C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)$

普朗克常數 $h$：

$6.626 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$

詳解步驟 1 代入主量子數 $n = 1$

確定基態計算式

將 $n = 1$ 代入第 2 部分推得之能階通式：

$$E_1 = -\frac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^2 \cdot (1)^2} = -\frac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^2}$$

詳解步驟 2 拆解分子項與分母項之高次方指數

將極大極小次方項分別展開計算（防止算錯）

【分子項】$m e^4$ 運算

• $e^4 = (1.602 \times 10^{-19})^4 \approx 6.589 \times 10^{-76}\text{ C}^4$

• $m \cdot e^4 = (9.109 \times 10^{-31}) \times (6.589 \times 10^{-76})$

$\text{分子} \approx 6.002 \times 10^{-106}\text{ kg}\cdot\text{C}^4$

【分母項】$8 \epsilon_0^2 h^2$ 運算

• $\epsilon_0^2 = (8.854 \times 10^{-12})^2 \approx 7.839 \times 10^{-23}$

• $h^2 = (6.626 \times 10^{-34})^2 \approx 4.390 \times 10^{-67}$

• $8 \times (7.839 \times 10^{-23}) \times (4.390 \times 10^{-67})$

$\text{分母} \approx 2.754 \times 10^{-88}$

詳解步驟 3 相除求出焦耳（Joule）數值

指數定律除法運算

將分子與分母相除，將十進位指數提出：

$$|E_1| = \frac{6.002 \times 10^{-106}}{2.754 \times 10^{-88}} = \left( \frac{6.002}{2.754} \right) \times 10^{-106 - (-88)}$$

$$|E_1| \approx 2.179 \times 10^{-18} \text{ J}$$

加上負號即得焦耳值：$$E_1 \approx -2.18 \times 10^{-18}\text{ J}$$

詳解步驟 4 (關鍵換算) 焦耳（J）轉為電子伏特（eV）

利用 $1\text{ eV} = 1.602 \times 10^{-19}\text{ J}$ 進行單位轉換

將焦耳數值除以單一基本電荷的能量等值：

$$E_1 = \frac{-2.179 \times 10^{-18}\text{ J}}{1.602 \times 10^{-19}\text{ J/eV}} \approx -13.60 \text{ eV}$$

★ 加分題最終答案

$$E_1 = -13.6 \text{ eV} \quad \left( = -2.18 \times 10^{-18}\text{ J} \right)$$

💡 考場巧解法利用庫倫常數 $k_e$ 與波爾半徑 $a_0$ 快速驗算

避免高次方運算的替代簡潔法

回想步驟 2-3 的總能關係式：$E_1 = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 a_0} = -\frac{k_e e^2}{2 a_0}$，其中庫倫常數 $k_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 8.99 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$，基態波爾半徑 $a_0 \approx 5.29 \times 10^{-11}\text{ m}$：

$$E_1 = -\frac{(8.99 \times 10^9) \times (1.602 \times 10^{-19})^2}{2 \times (5.29 \times 10^{-11})}$$

$$E_1 = -\frac{2.307 \times 10^{-28}}{1.058 \times 10^{-10}} \approx -2.18 \times 10^{-18}\text{ J} = -13.6 \text{ eV}$$

✨ 此方法指數最高僅到 $10^{-28}$，相較於 $10^{-106}$ 大幅降低按錯計算機的機率，深得閱卷老師青睞！

加分題核心物理意義延伸（申論加分重點）

1. 負號代表束縛態

以無窮遠處為位能零點（$E_\infty = 0$）。總能為負值表示電子被質子束縛，需外界提供能量才能成為自由電子。

2. 氫原子游離能

將基態電子脫離至無窮遠所需能量：
$\text{IE} = E_\infty - E_1 = 0 - (-13.6\text{ eV}) = \mathbf{+13.6\text{ eV}}$。

3. 躍遷吸收與輻射光子

由波爾頻率條件 $\Delta E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$，電子於能階間躍遷所吸收或放出的光子能量即為能階差。

動態實驗室

波爾原子動態模擬器與能階計算機

電子即時旋轉軌道 (動畫比例示意)

紅點：原子核 (質子 $+e$) 青圈：當前量子軌道 $n$ 藍點：電子 ($-e$)

能階參數即時調整

滑動調整主量子數 $n$，即時觀察軌道半徑與能階變化：

主量子數 $n$： n = 1 (基態)

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

軌道半徑 $r_n$：

0.529 Å 5.29 × 10⁻¹¹ m

電子動能 $K$：

+13.60 eV +2.18 × 10⁻¹⁸ J

庫倫位能 $U$：

-27.20 eV -4.36 × 10⁻¹⁸ J

總能量 $E_n$：

-13.60 eV -2.18 × 10⁻¹⁸ J

躍遷至基態釋放光子能量： 0.00 eV (處於基態)

波爾氫原子模型各物理量隨主量子數 $n$ 的正反比規律總結

物理量	正反比關係	第 $n$ 能階通式	基態數值 ($n=1$)	第一激發態 ($n=2$)
軌道半徑 $r_n$	$\propto n^2$	$a_0 n^2$	$0.529 \text{ \AA}$	$2.116 \text{ \AA}$ ($4a_0$)
繞行速率 $v_n$	$\propto \frac{1}{n}$	$v_1 / n$	$2.18 \times 10^6 \text{ m/s}$	$1.09 \times 10^6 \text{ m/s}$
電子動能 $K_n$	$\propto \frac{1}{n^2}$	$K_1 / n^2$	$+13.6 \text{ eV}$	$+3.4 \text{ eV}$
庫倫位能 $U_n$	$\propto -\frac{1}{n^2}$	$U_1 / n^2$	$-27.2 \text{ eV}$	$-6.8 \text{ eV}$
總能量 $E_n$	$\propto -\frac{1}{n^2}$	$-13.6\text{ eV} / n^2$	$-13.6 \text{ eV}$	$-3.4 \text{ eV}$

波爾氫原子模型 完整條列式推導