高立圖書普通物理／近代物理精選試題
質子位置與動能測不準原理分析
透過直式條列化公式、彩色數值對應標籤與即時波包動態模擬，徹底搞懂微觀粒子的量子行為！
題目原文重現
練習二
某次對質子的位置不確定量 = 2.00 × 10⁻¹¹ m。
運用測不準原理估算此質子的動能不確定量。
求 (1)
質子的動量不確定量為多少 kg·m/s？
求 (2)
質子動能不確定量為多少 J？相當於多少 eV？
* 提示：不同教授與教材習慣不同，本頁面可一鍵切換，兩者計算過程皆完整展示！
公式色彩對照系統 (Color Mapping)
條列式色彩輔助記憶
在後續所有「直式計算」與「條列推導」中，每一個常數與物理量均被賦予唯一的色彩標籤，方便直觀追蹤數值代入：
Δx (位置不確定度)
題目已知條件
ℏ (約化普朗克常數)
h / 2π
Δp (動量不確定度)
第 (1) 小題求解目標
m_p (質子靜止質量)
已知物理常數
ΔK (動能不確定度)
第 (2) 小題求解目標 [J]
1 eV (電子伏特換算)
能量基本單位
核心物理觀念：海森堡測不準原理指出，微觀粒子的位置與動量無法同時被任意精確地確定。限制其空間位置愈狹窄（$\Delta x \downarrow$），其動量擾動與不確定性就愈劇烈（$\Delta p \uparrow$）。
條列式與直式視覺公式解析
清晰垂直分式排列，搭配顏色數值標註，步驟一目瞭然！
步驟進度：
1
2
3
1
第 (1) 小題：求質子的動量不確定量 $\Delta p$
單位：kg · m/s
A
選用測不準原理關係式：
Δx · Δp ≥
ℏ
2
=
h
4π
B
移項求動量不確定量之最小值 $\Delta p$：
將位置不確定量 Δx 移至分母進行除法：
Δp
≥
=
ℏ
2 · Δx
1.055 × 10⁻³⁴ J·s
2 × (2.00 × 10⁻¹¹ m)
C
直式數值拆解計算：
分母項：2 × 2.00 × 10⁻¹¹ = 4.00 × 10⁻¹¹ m
指數相除：10⁻³⁴ ÷ 10⁻¹¹ = 10⁻²³
係數相除：1.055 ÷ 4.00 ≈ 0.2638 = 2.638 × 10⁻¹
總結 (1) 動量不確定量：
Δp ≈ 2.64 × 10⁻²⁴ kg·m/s
2
第 (2) 小題：求質子動能不確定量 $\Delta K$ (J 與 eV)
單位：J (焦耳) 及 eV (電子伏特)
A
由經典動能與動量關係式出發：
質子平均動量為零時，因動量展寬引起的最小動能（或動能不確定量）可估算為：
ΔK
≈
(Δp)²
2 · m_p
B
直式帶入數值計算 (單位：焦耳 J)：
帶入質子質量 m_p = 1.673 × 10⁻²⁷ kg 與上一小題求得的 Δp：
ΔK
=
=
(2.638 × 10⁻²⁴ kg·m/s)²
2 × (1.673 × 10⁻²⁷ kg)
6.959 × 10⁻⁴⁸
3.346 × 10⁻²⁷
得焦耳能量：
ΔK ≈ 2.08 × 10⁻²¹ J
C
單位換算：將焦耳 (J) 轉換為電子伏特 (eV)：
根據基本電荷關係，1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J：
ΔK (eV)
=
=
≈ 0.0130 eV (或 13.0 meV)
2.08 × 10⁻²¹ J
1.602 × 10⁻¹⁹ J/eV
本題解答重點精華速查
標準版本數值精確至三位有效數字
(1) 動量不確定量
2.64 × 10⁻²⁴ kg·m/s
(2) 動能不確定量
2.08 × 10⁻²¹ J (0.0130 eV)
物理動態模擬引擎
海森堡量子波包動態展現
波包寬度 (Δx): 2.00 × 10⁻¹¹ m
動量散布 (Δp): 2.64 × 10⁻²⁴ kg·m/s
觀察：當你把滑桿的 Δx 縮小時，波包變窄，內部微觀波長頻率波動 (Δp) 急遽增加！
調整位置不確定量 Δx:
2.00 × 10⁻¹¹ m
0.5 × 10⁻¹¹ m (極度受限)
5.0 × 10⁻¹¹ m (較自由)
對應動量不確定量 Δp
2.64 × 10⁻²⁴
kg · m/s
對應動能不確定量 ΔK
0.0130 eV
2.08 × 10⁻²¹ J
實戰檢測擂台
觀念與數值檢定測驗
回答以下問題，驗收你對測不準原理與能量轉換的掌握度！
目前答對：
0 / 3
Q1
本題中，當質子位置不確定量為 $2.00 \times 10^{-11}\text{ m}$ 時，依現代量子標準（$\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$），動量不確定量的數量級約為？
Q2
在計算動能不確定量時，若動能為 $2.08 \times 10^{-21}\text{ J}$，轉換為電子伏特 (eV) 時，為何數值會變成大約 $0.0130\text{ eV}$？
Q3
【延伸思考】若將題目中的「質子」換成質量更小的「電子」（$m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}\text{ kg}$），在相同位置不確定量下，其動能不確定量 $\Delta K$ 會如何變化？
量子試驗沙盒
自訂粒子與數值即時推算器
想知道如果位置縮到原子核等級或換成電子時會怎樣嗎？在這裡隨意測試！
質子: 1.673e-27 / 電子: 9.11e-31
原題：2.00e-11 m
計算得 Δp (kg·m/s)
2.64 × 10⁻²⁴
計算得 ΔK (焦耳 J)
2.08 × 10⁻²¹
計算得 ΔK (電子伏特 eV)
0.0130 eV