講義題目原文與權威解答 (Textbook Example 02)
例： 一個氫原子的半徑為 \(5.3 \times 10^{-11}\text{ m}\)。運用測不準原理估算在此原子中電子的動能不確定量。
本題核心在於微觀量子侷限效應：當電子被束縛在波耳半徑時，空間的不確定度逼使電子必須具備極為顯著的動量波動與基態動能（等於 \(3.4\text{ eV}\)），正是這股量子動能抵抗了庫侖吸引力，防止原子向中心塌縮！
公式數值色彩解密對照表 (Color Legend)
\(\Delta x\) 位置不確定量：
\(5.3 \times 10^{-11}\text{ m}\)
\(\hbar\) 約化普朗克常數：
\(1.054 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}\)
\(\Delta p\) 動量不確定量：
\(9.9 \times 10^{-25}\text{ kg}\cdot\text{m/s}\)
\(m\) 電子靜止質量：
\(9.1 \times 10^{-31}\text{ kg}\)
\(1\text{ eV}\) 能量單位換算：
\(1.6 \times 10^{-19}\text{ J}\)
直式多層視覺化公式 • 條列式漸進拆解 數值顏色精準對映
透過垂直分數、色彩代入與因次化簡，一步步洞悉講義每項數值的由來
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波耳半徑 \(a_0\)
步驟一 • 定義電子空間限制量 \(\Delta x\)
氫原子的物理半徑即為電子被局限的特徵空間。我們將電子在原子內的位置不確定量取為氫原子半徑：
【直式定義】空間不確定度
$$\Delta x = \textcolor{#38bdf8}{5.3 \times 10^{-11}\text{ m}} = \textcolor{#38bdf8}{0.53\text{ \AA}}$$
條列觀念重點：
- 此數值即為波耳氫原子模型的基態半徑 \(a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m e^2}\)。
- 電子並不是安靜停留在單一點，而是在半徑約 \(5.3 \times 10^{-11}\text{ m}\) 的球形空間內運動。
2
\(\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}\)
步驟二 • 海森堡原理直式求解動量下限 \(\Delta p\)
根據海森堡測不準原理，空間的不確定性限制了動量，利用直式除法展開並代入數值：
【直式彩色代入】求動量不確定度
$$\begin{aligned}
\textcolor{#fbbf24}{\Delta p} &\ge \frac{\textcolor{#34d399}{\hbar}}{2\textcolor{#38bdf8}{\Delta x}} \\[8pt]
&\ge \frac{\textcolor{#34d399}{1.054 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}}}{2 \times (\textcolor{#38bdf8}{5.3 \times 10^{-11}\text{ m}})} \\[8pt]
&\ge \frac{\textcolor{#34d399}{1.054 \times 10^{-34}}}{1.06 \times 10^{-10}} \\[8pt]
&\ge \textcolor{#fbbf24}{9.9 \times 10^{-25}\text{ kg}\cdot\text{m/s}}
\end{aligned}$$
講義計算細節叮嚀：
- 分母必須包含因數 \(2\)：\(2 \times 5.3 \times 10^{-11} = 1.06 \times 10^{-10}\text{ m}\)。
- 分子為約化常數 \(\hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1.054 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}\)（勿誤代為 \(h\)）。
- 指數相減：\(-34 - (-11) = -23\)，\(\frac{1.054}{10.6} \times 10^{-23} \approx 9.9 \times 10^{-25}\)。
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\(\text{KE} = \frac{p^2}{2m}\)
步驟三 • 動能公式直式平方展開求焦耳 (J)
取電子最小動能對應之動量 \(p \approx \Delta p\)，代入非相對論動能直式算式：
【直式彩色代入】求電子動能不確定量
$$\begin{aligned}
\textcolor{#60a5fa}{\text{KE}} &= \frac{\textcolor{#fbbf24}{p}^2}{2\textcolor{#c084fc}{m}} \\[8pt]
&\ge \frac{(\textcolor{#fbbf24}{9.9 \times 10^{-25}\text{ kg}\cdot\text{m/s}})^2}{(2)(\textcolor{#c084fc}{9.1 \times 10^{-31}\text{ kg}})} \\[8pt]
&\ge \frac{\textcolor{#fbbf24}{9.801 \times 10^{-49}}}{1.82 \times 10^{-30}} \\[8pt]
&\ge \textcolor{#60a5fa}{5.4 \times 10^{-19}\text{ J}}
\end{aligned}$$
條列觀念重點：
- 電子質量代入精確值 \(\textcolor{#c084fc}{m = 9.1 \times 10^{-31}\text{ kg}}\)。
- 分子平方運算：\((9.9 \times 10^{-25})^2 \approx 98.01 \times 10^{-50} = 9.801 \times 10^{-49}\)。
- 分母 \(2m = 2 \times 9.1 \times 10^{-31} = 1.82 \times 10^{-30}\text{ kg}\)。
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等於 3.4 eV
步驟四 • 直式因次化簡換算電子伏特 (eV)
在微觀原子物理中，焦耳（J）單位過於微小，常以電子伏特（eV）作為能量單位：
【直式換算】除以基本電荷常數
$$\begin{aligned}
\textcolor{#60a5fa}{\text{KE}_{(\text{eV})}} &= \frac{\textcolor{#60a5fa}{\text{KE}_{(\text{J})}}}{\textcolor{#f43f5e}{1.6 \times 10^{-19}\text{ J/eV}}} \\[8pt]
&= \frac{\textcolor{#60a5fa}{5.4 \times 10^{-19}\text{ J}}}{\textcolor{#f43f5e}{1.6 \times 10^{-19}\text{ J/eV}}} \\[8pt]
&= \frac{5.4}{1.6} = 3.375\text{ eV} \\[8pt]
&\approx \mathbf{\textcolor{#fbbf24}{3.4\text{ eV}}}
\end{aligned}$$
講義最終結論與物理意義：
氫原子的基態結合能為 \(-13.6\text{ eV}\)，波耳模型中電子的平均動能恰為 \(+13.6\text{ eV}\)。測不準原理估算出的動能波動下限為 \(3.4\text{ eV}\)，在同一個數量級上，完美解釋了電子為何無法靜止在核內！
講義完整解答 • 彩色直式一貫通覽看板
$$\begin{aligned}
\Delta x &= \textcolor{#38bdf8}{5.3 \times 10^{-11}\text{ m}} \\[10pt]
\implies \textcolor{#fbbf24}{\Delta p} &\ge \frac{\textcolor{#34d399}{\hbar}}{2\textcolor{#38bdf8}{\Delta x}} \ge \frac{\textcolor{#34d399}{1.054 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}}}{2 \times (\textcolor{#38bdf8}{5.3 \times 10^{-11}\text{ m}})} \ge \textcolor{#fbbf24}{9.9 \times 10^{-25}\text{ kg}\cdot\text{m/s}} \\[12pt]
\implies \textcolor{#60a5fa}{\text{KE}} &= \frac{\textcolor{#fbbf24}{p}^2}{2\textcolor{#c084fc}{m}} \ge \frac{(\textcolor{#fbbf24}{9.9 \times 10^{-25}\text{ kg}\cdot\text{m/s}})^2}{(2)(\textcolor{#c084fc}{9.1 \times 10^{-31}\text{ kg}})} \ge \textcolor{#60a5fa}{5.4 \times 10^{-19}\text{ J}} \\[12pt]
&= \frac{\textcolor{#60a5fa}{5.4 \times 10^{-19}\text{ J}}}{\textcolor{#f43f5e}{1.6 \times 10^{-19}\text{ J/eV}}} = \mathbf{\textcolor{#fbbf24}{3.4\text{ eV}}}
\end{aligned}$$
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隨堂小考評量進度 (ex02)
測驗進行中
題目包含直式數值代入、分母陷阱、因次換算與防塌縮量子本質
第 1 題 / 共 4 題
步驟一：動量不確定量計算
提示文字
例題專屬動態物理動畫台 (Physical Animations)
直觀呈現微觀波包運動、為什麼海森堡原理阻止了原子向內崩潰？
電子在波耳半徑 \(r = 5.3 \times 10^{-11}\text{ m}\) 的動量擾動
即時物理模擬運作中
測不準原理動能下限
\(\Delta x = 5.3 \times 10^{-11}\text{ m}\) 決定了動量不確定度 \(\Delta p \ge 9.9 \times 10^{-25}\text{ kg}\cdot\text{m/s}\)，對應速度波動高達每秒一千公里！
動畫速率：
講義例題逐步推演與物理意義
量子侷限與測不準互動實驗室 (Quantum Confinement Lab)
自由滑動調整空間限制 \(\Delta x\)，親眼見證當空間越狹窄時，動量不確定度與量子動能如何爆炸性激增！
空間局限盒與基態機率波函數 \(\psi(x)\) 即時演化
薛丁格基態波包演化中
局限狀態即時輸出
限制區間 \(\Delta x\): 0.53 Å (0.053 nm)
速度不確定度 \(\Delta v\): 1,088 km/s
微觀空間擠壓導致劇烈的量子零點動能震盪！
空間不確定量 \(\Delta x\) 動態調節
空間限制量 \(\Delta x\)：
0.53 Å (5.3 × 10⁻¹¹ m)
極度緊縮 (0.1 Å, 能量暴增)
寬鬆拘束 (2.0 Å, 能量遞減)
粒子質量 \(m\)：
9.1 × 10⁻³¹ kg
動量下限 \(\Delta p = \frac{\hbar}{2\Delta x}\)：
9.9 × 10⁻²⁵ kg·m/s
動能不確定量 \(\text{KE}\)：
5.4 × 10⁻¹⁹ J
換算電子伏特 (eV)：
3.4 eV
物理精髓點評：
若將電子壓縮到更微小的空間（如原子核尺度 \(10^{-15}\text{ m}\)），動能不確定量將爆增至數十 MeV，這就是為什麼電子絕對無法被束縛在原子核內的根本原因！
典型代表物理情境：