高中數學題精解：指數化簡、雙重根號與乘法公式全集

第 1 題 • 指數立方和化簡（無跳步詳解版）

目標答案：$2\sqrt{2} - 1$

設 $a^{2x} = \sqrt{2} + 1$，求：

$$\frac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}} = \; ?$$

1 步驟 1：分子因式分解（運用立方和公式，不跳步拆解）

標準立方和公式為：$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$。
在分子中，我們設定：

首項 $A = a^x \implies A^3 = (a^x)^3 = a^{x \times 3} = a^{3x}$
末項 $B = a^{-x} \implies B^3 = (a^{-x})^3 = a^{(-x) \times 3} = a^{-3x}$
中間交叉項：$AB = a^x \cdot a^{-x} = a^{x + (-x)} = a^0 = 1$
首項平方：$A^2 = (a^x)^2 = a^{x \times 2} = a^{2x}$
末項平方：$B^2 = (a^{-x})^2 = a^{(-x) \times 2} = a^{-2x}$

將上述各項代回公式：

$$a^{3x} + a^{-3x} = (a^x + a^{-x})\left(a^{2x} - 1 + a^{-2x}\right)$$

接著代入原分式中，分子與分母直接約分消除公因式 $(a^x + a^{-x})$：

$$\frac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}} = \frac{(a^x + a^{-x})(a^{2x} - 1 + a^{-2x})}{a^x + a^{-x}} = a^{2x} - 1 + a^{-2x}$$

2 步驟 2：求負指數項 $a^{-2x}$ 的值（逐步分母有理化）

已知 $a^{2x} = \sqrt{2} + 1$。依負指數定義：$a^{-2x} = \frac{1}{a^{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$。

分子與分母同時乘以共軛根式 $(\sqrt{2} - 1)$，利用平方差公式 $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$：

$$\begin{aligned} a^{-2x} &= \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \\ &= \frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} \\ &= \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} \\ &= \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} \\ &= \sqrt{2} - 1 \end{aligned}$$

3 步驟 3：將已知項與有理化項代回加總（不跳步合併同類項）

將 $a^{2x} = \sqrt{2} + 1$ 與 $a^{-2x} = \sqrt{2} - 1$ 代入步驟 1 的簡化式：

$$\begin{aligned} \text{原式} &= a^{2x} - 1 + a^{-2x} \\ &= (\sqrt{2} + 1) - 1 + (\sqrt{2} - 1) \\ &= \sqrt{2} + 1 - 1 + \sqrt{2} - 1 \\ &= (\sqrt{2} + \sqrt{2}) + (1 - 1 - 1) \\ &= 2\sqrt{2} - 1 \end{aligned}$$

最終答案：$2\sqrt{2} - 1$

1 步驟 1：分子分母同乘 $a^x$（逐項乘開指數律展示）

為了消除分子與分母中最棘手的負指數項，我們在分子與分母同時乘以 $a^x$：

$$\begin{aligned} \frac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}} &= \frac{(a^{3x} + a^{-3x}) \cdot a^x}{(a^x + a^{-x}) \cdot a^x} \\ &= \frac{a^{3x} \cdot a^x + a^{-3x} \cdot a^x}{a^x \cdot a^x + a^{-x} \cdot a^x} \\ &= \frac{a^{3x+x} + a^{-3x+x}}{a^{x+x} + a^{-x+x}} \\ &= \frac{a^{4x} + a^{-2x}}{a^{2x} + a^0} \\ &= \frac{a^{4x} + a^{-2x}}{a^{2x} + 1} \end{aligned}$$

2 步驟 2：分別求出分子與分母各項的值（詳細乘開）

① 分母的值： $$a^{2x} + 1 = (\sqrt{2} + 1) + 1 = 2 + \sqrt{2}$$

② 分子中 $a^{4x}$ 的值（取平方展開）： $$a^{4x} = (a^{2x})^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(1) + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$$

③ 分子中 $a^{-2x}$ 的值（有理化）： $$a^{-2x} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$$

④ 分子總和： $$a^{4x} + a^{-2x} = (3 + 2\sqrt{2}) + (\sqrt{2} - 1) = (3 - 1) + (2\sqrt{2} + \sqrt{2}) = 2 + 3\sqrt{2}$$

3 步驟 3：分式有理化除法（完整十字交叉相乘展開）

將分子與分母的值組合，並分子分母同乘分母的共軛式 $(2 - \sqrt{2})$：

$$\begin{aligned} \frac{a^{4x} + a^{-2x}}{a^{2x} + 1} &= \frac{2 + 3\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \\ &= \frac{(2 + 3\sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} \\ &= \frac{4 - 2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 3(2)}{2^2 - (\sqrt{2})^2} \\ &= \frac{4 - 2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 6}{4 - 2} \\ &= \frac{-2 + 4\sqrt{2}}{2} \\ &= 2\sqrt{2} - 1 \end{aligned}$$

最終答案：$2\sqrt{2} - 1$

第 2 題 • 雙重根號與負指數（無跳步詳解版）

目標答案：$2 + \sqrt{3}$

已知 $a^{2x} = 7 - \sqrt{48}$，求：

$$a^{-x} = \frac{1}{a^x} = \; ?$$

條列式無跳步推導步驟

切換解法，包含為什麼必須湊係數 2、完全平方如何拆解

1 步驟一：根號提出因數，湊出雙重根號必備的係數 2

雙重根號的展開公式為 $\sqrt{(u+v) \pm 2\sqrt{uv}}$，注意到內層根號前方必須要有係數 2。
因此將 $\sqrt{48}$ 拆解提出 $4$ 的平方根：

$$\begin{aligned} \sqrt{48} &= \sqrt{4 \times 12} = 2\sqrt{12} \\ \implies a^{2x} &= 7 - \sqrt{48} = 7 - 2\sqrt{12} \end{aligned}$$

2 步驟二：化簡雙重根號求 $a^x$（嚴格正負號判定）

尋找兩個正數 $u, v$，滿足「相加等於 $7$」且「相乘等於 $12$」：

• 聯立條件：$u + v = 7$ 且 $u \cdot v = 12$

• 解得：$u = 4,\; v = 3$（此處令較大數在前 $u > v$）

將 $7 - 2\sqrt{12}$ 重組為完全平方：

$$7 - 2\sqrt{12} = (4 + 3) - 2\sqrt{4 \times 3} = (\sqrt{4})^2 - 2\sqrt{4}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{4} - \sqrt{3})^2$$

兩側開平方根求 $a^x$。由於指數函數 $a^x > 0$，且 $\sqrt{4} = 2 > \sqrt{3} \approx 1.732$，故取正值：

$$a^x = \sqrt{a^{2x}} = \sqrt{(\sqrt{4} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$$

3 步驟三：有理化求 $a^{-x}$（不跳步平方差展開）

依據定義 $a^{-x} = \frac{1}{a^x} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$。分子分母同乘 $(2 + \sqrt{3})$：

$$\begin{aligned} a^{-x} &= \frac{1 \times (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} \\ &= \frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} \\ &= \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} \\ &= 2 + \sqrt{3} \end{aligned}$$

最終答案：$a^{-x} = 2 + \sqrt{3}$

1 步驟一：先求倒數 $a^{-2x}$ 並逐步有理化

由負指數倒數定義：$a^{-2x} = \frac{1}{a^{2x}} = \frac{1}{7 - \sqrt{48}}$。
分子分母同乘共軛式 $(7 + \sqrt{48})$：

$$\begin{aligned} a^{-2x} &= \frac{1 \times (7 + \sqrt{48})}{(7 - \sqrt{48})(7 + \sqrt{48})} \\ &= \frac{7 + \sqrt{48}}{7^2 - (\sqrt{48})^2} \\ &= \frac{7 + \sqrt{48}}{49 - 48} \\ &= 7 + \sqrt{48} = 7 + 2\sqrt{12} \end{aligned}$$

2 步驟二：超詳細解析「$a^{-x} = \sqrt{7 + 2\sqrt{12}}$」開根號完全拆解

細部 ①：完全平方展開的對稱結構

兩根號相加平方公式：$(\sqrt{u} + \sqrt{v})^2 = (\sqrt{u})^2 + 2\sqrt{u}\sqrt{v} + (\sqrt{v})^2 = (u + v) + 2\sqrt{u \times v}$。
對照目標式 $7 + 2\sqrt{12}$：

整數部分代表兩數和：$u + v = 7$；根號內部代表兩數積：$u \times v = 12$。

細部 ②：因數篩選過程（零心算跳步）

將乘積為 12 的正整數因數對一一列出檢驗：

$1 \times 12 = 12$，但 $1 + 12 = 13 \neq 7$（不符合）
$2 \times 6 = 12$，但 $2 + 6 = 8 \neq 7$（不符合）
$3 \times 4 = 12$，且 $3 + 4 = 7$（完全符合！）

取定 $u = 4,\; v = 3$

細部 ③：拆解重組與開方

$$7 + 2\sqrt{12} = (4 + 3) + 2\sqrt{4 \times 3} = (\sqrt{4})^2 + 2\sqrt{4}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{4} + \sqrt{3})^2$$ $$a^{-x} = \sqrt{a^{-2x}} = \sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}$$

細部 ④：反向平方驗算

將 $2 + \sqrt{3}$ 平方還原驗算：

$$(2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} = 7 + \sqrt{16 \times 3} = 7 + \sqrt{48}$$ 驗算結果完全相符！

$$a^{-x} = 2 + \sqrt{3}$$

第 3 題 • 指數立方和化簡（無跳步詳解版）

目標答案：$\frac{43}{7}$

設 $2^{2x} = 7$，則：

$$\frac{2^{3x} + 2^{-3x}}{2^x + 2^{-x}} = \; ?$$

本質：第 1 題的整數版孿生題秒殺策略：立方和公式因式分解關鍵轉化：$2^{-2x} = \frac{1}{2^{2x}} = \frac{1}{7}$

條列式無跳步步驟解析

提供兩種經典視角：立方和約分法 vs 分子分母同乘法

1 步驟一：利用立方和乘法公式拆解分子（逐項代換）

乘法公式立方和為：$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$。
在分子中令 $A = 2^x$、$B = 2^{-x}$：

$A^3 = (2^x)^3 = 2^{3x}$
$B^3 = (2^{-x})^3 = 2^{-3x}$
相加一次項：$A + B = 2^x + 2^{-x}$
平方和項：$A^2 + B^2 = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 = 2^{2x} + 2^{-2x}$
相乘交叉項：$AB = 2^x \cdot 2^{-x} = 2^{x + (-x)} = 2^0 = 1$

分子可完整表示為：

$$2^{3x} + 2^{-3x} = (2^x + 2^{-x})\left[(2^x)^2 - 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2\right]$$ $$= (2^x + 2^{-x})\left(2^{2x} - 1 + 2^{-2x}\right)$$

2 步驟二：代回原分式約分，消除分母共通因式

分子與分母同時含有因式 $(2^x + 2^{-x})$，直接約去：

$$\frac{2^{3x} + 2^{-3x}}{2^x + 2^{-x}} = \frac{(2^x + 2^{-x})(2^{2x} - 1 + 2^{-2x})}{2^x + 2^{-x}} = 2^{2x} - 1 + 2^{-2x}$$

3 步驟三：代入已知條件 $2^{2x} = 7$ 進行通分運算（無跳步通分）

已知 $2^{2x} = 7$，依負指數性質 $2^{-2x} = \frac{1}{2^{2x}} = \frac{1}{7}$。
代入求值並通分：

$$\begin{aligned} \text{原式} &= 2^{2x} - 1 + 2^{-2x} \\ &= 7 - 1 + \frac{1}{7} \\ &= 6 + \frac{1}{7} \\ &= \frac{42}{7} + \frac{1}{7} \\ &= \frac{43}{7} \end{aligned}$$

答案求得

$$\frac{43}{7} \quad \left(\text{化為帶分數為 } 6\frac{1}{7}\right)$$

第 4 題 • 分數指數與完全平方公式（無跳步詳解版）

目標答案：$23$

已知 $x > 1$，設 $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 5$，則：

$$x + x^{-1} = \; ?$$

核心：乘方指數律 $(x^{1/2})^2 = x$ 核心：完全平方和展開 $(A+B)^2$ 陷阱解析：條件 $x > 1$ 的真實用意

條列式無跳步推導步驟

標準乘法公式平方變形法，每一項展開皆完整寫出

1 步驟一：將已知等式兩邊同時取平方（說明理由）

題目已知的是「$\frac{1}{2}$ 次方」，而所求是「$1$ 次方與 $-1$ 次方」。
根據指數律 $(u^m)^n = u^{mn}$，有 $\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2 = x^{\frac{1}{2} \times 2} = x^1 = x$，因此平方是升次的唯一捷徑：

$$\left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = 5^2$$

2 步驟二：利用和的平方公式展開左式 $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

令 $A = x^{\frac{1}{2}}$、$B = x^{-\frac{1}{2}}$，逐步細拆每一項：

• 首項平方：$A^2 = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2 = x^{\frac{1}{2} \times 2} = x^1 = x$

• 中間交叉項：$2AB = 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = 2 \cdot x^{\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)} = 2 \cdot x^0 = 2 \cdot 1 = 2$

• 末項平方：$B^2 = \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = x^{-\frac{1}{2} \times 2} = x^{-1} = \frac{1}{x}$

展開重組後左式為：

$$\left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = x + 2 + x^{-1}$$

3 步驟三：聯立等式右邊常數 $5^2 = 25$ 並等量移項

將展開後的左式與右式數值 $25$ 等置：

$$x + 2 + x^{-1} = 25$$ $$\text{等號兩邊同時減去 } 2：(x + 2 + x^{-1}) - 2 = 25 - 2$$ $$x + x^{-1} = 23$$

答案求得

$$x + x^{-1} = 23$$

★ 段考高頻延伸題（雙向檢驗：為什麼題目特別註明 $x > 1$？）

延伸問題 ①：求 $x^2 + x^{-2} = \; ?$
將剛才算得的 $x + x^{-1} = 23$ 再次兩邊取平方： $$(x + x^{-1})^2 = 23^2 \implies x^2 + 2\cdot x\cdot x^{-1} + (x^{-1})^2 = 529$$ $$x^2 + 2 + x^{-2} = 529 \implies x^2 + x^{-2} = 529 - 2 = 527$$

延伸問題 ②：求 $x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = \; ?$（$x > 1$ 的關鍵作用！）
利用差的完全平方展開： $$\left(x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = x - 2 + x^{-1} = (x + x^{-1}) - 2 = 23 - 2 = 21$$ 開平方根時有正負號 $\pm\sqrt{21}$，此時已知條件 $x > 1$ 發揮關鍵作用： $$x > 1 \implies x^{\frac{1}{2}} > 1 \text{ 且 } x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{1/2}} < 1$$ 大數減小數必定為正數：$x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} > 0$。
因此負不合，唯一解為正根：$+\sqrt{21}$！

第 5 題 • 高次對稱多項式（無跳步詳解版）

目標答案：$369$

已知 $2^x + 2^{-x} = 7$，則：

$$8^x + 4^x + 4^{-x} + 8^{-x} = \; ?$$

分組思想：二次項一組、三次項一組底數轉換：$4^x = (2^x)^2$、$8^x = (2^x)^3$

條列式無跳步推導步驟

將四項對稱分組為平方項 $(4^x + 4^{-x})$ 與立方項 $(8^x + 8^{-x})$ 分別求值

1 步驟一：同類對稱分組與底數化同

將原式的四個加項重新排序分組：

$$8^x + 4^x + 4^{-x} + 8^{-x} = (8^x + 8^{-x}) + (4^x + 4^{-x})$$

利用指數律將底數 $4$ 與 $8$ 全數化為底數 $2$ 的次方：

$4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2$
$4^{-x} = (2^2)^{-x} = 2^{-2x} = (2^{-x})^2$
$8^x = (2^3)^x = 2^{3x} = (2^x)^3$
$8^{-x} = (2^3)^{-x} = 2^{-3x} = (2^{-x})^3$

2 步驟二：求平方組 $(4^x + 4^{-x})$ 的值（詳細乘開移項）

將已知條件 $2^x + 2^{-x} = 7$ 兩邊取平方：

$$\begin{aligned} (2^x + 2^{-x})^2 &= 7^2 \\ (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2 &= 49 \\ 4^x + 2 \cdot 1 + 4^{-x} &= 49 \\ 4^x + 4^{-x} &= 49 - 2 \\ &= 47 \end{aligned}$$

【得到第一組值】：$4^x + 4^{-x} = 47$

3 步驟三：求立方組 $(8^x + 8^{-x})$ 的值（公式展開代入）

根據立方和公式 $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$，令 $A = 2^x, B = 2^{-x}$：

$$\begin{aligned} 8^x + 8^{-x} &= (2^x)^3 + (2^{-x})^3 \\ &= (2^x + 2^{-x})\left[(2^x)^2 - 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2\right] \\ &= (2^x + 2^{-x})\left(4^x - 1 + 4^{-x}\right) \\ &= (2^x + 2^{-x})\left[(4^x + 4^{-x}) - 1\right] \\ &= 7 \times (47 - 1) \\ &= 7 \times 46 = 322 \end{aligned}$$

【得到第二組值】：$8^x + 8^{-x} = 322$

4 步驟四：合併兩組結果求得最終總和

$$\text{原式} = (8^x + 8^{-x}) + (4^x + 4^{-x})$$ $$= 322 + 47$$ $$= 369$$

答案求得

$$8^x + 4^x + 4^{-x} + 8^{-x} = 369$$

第 6 題 • 立方和反求一階與一元二次解（無跳步詳解版）

第一格：$4$ 第二格：$2 \pm \sqrt{3}$

設 $a > 0$，若 $a^{3x} + a^{-3x} = 52$，則：

$$a^x + a^{-x} = \; ? \quad , \quad a^x = \; ?$$

核心：換元法 $t = a^x + a^{-x}$ 且 $t \ge 2$ 高次方程：$t^3 - 3t - 52 = 0$ 一次因式檢驗與綜合除法判別式驗算：$D < 0$ 排除虛根，確定實數解唯一

條列式無跳步推導步驟

從未知設元、因式分解判別式檢驗、到一元二次公式解逐項展開

1 步驟一：令 $t = a^x + a^{-x}$ 並建立 $t$ 的三次方程式

因為底數 $a > 0$，所以 $a^x > 0$ 且 $a^{-x} > 0$。由算幾不等式可得範圍門檻： $$t = a^x + a^{-x} \ge 2\sqrt{a^x \cdot a^{-x}} = 2\sqrt{a^0} = 2 \implies t \ge 2$$

利用和的立方展開式 $(A + B)^3 = A^3 + B^3 + 3AB(A + B)$：

$$(a^x + a^{-x})^3 = a^{3x} + a^{-3x} + 3(a^x \cdot a^{-x})(a^x + a^{-x})$$ $$t^3 = 52 + 3(1)(t)$$ $$t^3 = 52 + 3t \implies t^3 - 3t - 52 = 0$$

2 步驟二：超詳細解密三次方程式 $t^3 - 3t - 52 = 0$ 如何解出 $t=4$

細部 ①：一次因式檢驗法（如何科學找「猜根」範圍，而不是盲猜）

對於整係數多項式 $t^3 - 3t - 52 = 0$，首項係數為 $1$、常數項為 $-52$。
根據「一次因式檢驗法（有理根定理）」，可能之整數根必須為常數項 $-52$ 的因數： $$\pm 1,\; \pm 2,\; \pm 4,\; \pm 13,\; \pm 26,\; \pm 52$$ 但特別注意：在步驟一中我們已利用算幾不等式證明過 $t = a^x + a^{-x} \ge 2$，因此負數與 1 均直接排除！只需檢驗 $\ge 2$ 的正因數：

測試 $t = 2$：$2^3 - 3(2) - 52 = 8 - 6 - 52 = -50 \neq 0$
測試 $t = 4$：$4^3 - 3(4) - 52 = 64 - 12 - 52 = 0$（完全整除！代表 $(t - 4)$ 必定為其因式！）

細部 ②：綜合除法降次計算（必備陷阱提醒：缺項務必補 0！）

多項式為 $1\cdot t^3 + 0\cdot t^2 - 3\cdot t - 52$（$t^2$ 項係數為 0，不可遺漏！）。以根 $4$ 進行綜合除法：

　　 $1$　　$0$　　$-3$　　$-52$　$|\underline{\; 4 \;}$

$+)$ 　　　$4$　　$16$　　 $52$

　　 $1$　　$4$　　$13$　　 $0$ （餘數為 0）

綜合除法拆解運算順序：
① 首項係數 $1$ 直接掉下。
② $1 \times 4 = 4$，相加得 $0 + 4 = 4$。
③ $4 \times 4 = 16$，相加得 $-3 + 16 = 13$。
④ $13 \times 4 = 52$，相加得 $-52 + 52 = 0$（餘數為 0）。
商式即為二次式：$1\cdot t^2 + 4\cdot t + 13 = t^2 + 4t + 13$。

因此多項式因式分解為：$(t - 4)(t^2 + 4t + 13) = 0$

細部 ③：檢驗商式判別式，證明不可能有其他實數根

令商式 $t^2 + 4t + 13 = 0$，檢驗其判別式 $D = b^2 - 4ac$（其中 $a=1, b=4, c=13$）：

$$D = 4^2 - 4(1)(13) = 16 - 52 = -36 < 0$$

亦可使用配方法檢驗：$t^2 + 4t + 13 = (t + 2)^2 + 9$。因為任何實數平方均大於等於 0，所以 $(t+2)^2 + 9 \ge 9 > 0$ 恆正，在實數範圍內絕無可能等於 0！
這證明了本方程式不存在其他實數根，因此唯一的實數解必定是：

唯一解：$t = a^x + a^{-x} = 4$

3 步驟三：求 $a^x$（解一元二次方程式公式解）

由 $a^x + a^{-x} = 4$，改寫為倒數形式並等號兩邊同乘以 $a^x$：

$$a^x + \frac{1}{a^x} = 4$$ $$(a^x) \cdot (a^x) + 1 = 4 \cdot (a^x)$$ $$(a^x)^2 - 4(a^x) + 1 = 0$$

套用一元二次方程公式解 $u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a=1, b=-4, c=1$：

$$a^x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$$ $$= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$$ $$= \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{2} \pm \frac{2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$

※ 註：由於題目僅給 $a > 0$，並未指定 $a > 1$ 或 $x$ 的正負，若 $a^x = 2 + \sqrt{3}$，則 $a^{-x} = 2 - \sqrt{3}$，兩者互為倒數且和為 $4$；反之亦然。故兩解皆成立。

答案求得

$$a^x + a^{-x} = 4 \quad , \quad a^x = 2 \pm \sqrt{3}$$

第 7 題 • 半整數指數分式求值（無跳步詳解版）

目標答案：$\frac{18}{7}$

設 $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$，則：

$$\frac{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}}{a + a^{-1}} = \; ?$$

分母：平方關係 $(a^{1/2})^2 = a^1$ 分子：立方關係 $(a^{1/2})^3 = a^{3/2}$

條列式無跳步推導步驟

分步求解分母的一次方和與分子的 $\frac{3}{2}$ 次方和

1 步驟一：求分母 $a + a^{-1}$ 的值（兩邊取平方）

將已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ 兩側平方展開：

$$\left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = 3^2$$ $$\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} + \left(a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = 9$$ $$a^1 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)} + a^{-1} = 9$$ $$a + 2 \cdot a^0 + a^{-1} = 9$$ $$a + 2(1) + a^{-1} = 9$$ $$a + a^{-1} = 9 - 2 = 7$$

【分母之值】：$a + a^{-1} = 7$

2 步驟二：求分子 $a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}$ 的值（立方公式展開）

令 $A = a^{\frac{1}{2}}, B = a^{-\frac{1}{2}}$，利用立方和公式 $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$：

$$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^3 + \left(a^{-\frac{1}{2}}\right)^3$$ $$= \left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)\left[\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 - a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} + \left(a^{-\frac{1}{2}}\right)^2\right]$$ $$= \left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)\left(a - 1 + a^{-1}\right)$$ $$= \left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)\left[(a + a^{-1}) - 1\right]$$

代入已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ 與步驟一求得的 $a + a^{-1} = 7$：

$$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = 3 \times (7 - 1) = 3 \times 6 = 18$$

【分子之值】：$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = 18$

3 步驟三：分子與分母相除求值

$$\frac{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}}{a + a^{-1}} = \frac{18}{7}$$

答案求得

$$\frac{18}{7} \quad \left(\text{帶分數 } 2\frac{4}{7}\right)$$

第 8 題 • 帶常數項的指數分式運算（無跳步詳解版）

目標答案：$2$

設 $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$，則：

$$\frac{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} + 2}{x + x^{-1} + 3} = \; ?$$

傳承第 7 題核心：$x + x^{-1} = 7$ 傳承第 7 題核心：$x^{3/2} + x^{-3/2} = 18$ 最後結合常數：$\frac{18+2}{7+3} = \frac{20}{10} = 2$

條列式無跳步推導步驟

先分別解出一次對稱和與三次對稱和，再加上常數後約分

1 步驟一：求 $x + x^{-1}$ 的值（平方展開）

已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$，等號兩端同時平方：

$$\left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = 3^2$$ $$\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2 + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} + \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = 9$$ $$x^1 + 2 \cdot x^0 + x^{-1} = 9$$ $$x + 2 + x^{-1} = 9$$ $$x + x^{-1} = 9 - 2 = 7$$

2 步驟二：求 $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}$ 的值（立方和展開）

運用立方和展開公式：

$$x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = \left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)\left[\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2 - x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} + \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^2\right]$$ $$= \left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)\left(x - 1 + x^{-1}\right)$$ $$= 3 \times (7 - 1) = 3 \times 6 = 18$$

3 步驟三：代入分母與分子各項常數並除法化簡

① 分子總值： $$x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} + 2 = 18 + 2 = 20$$

② 分母總值： $$x + x^{-1} + 3 = 7 + 3 = 10$$

③ 原式最終除法： $$\frac{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} + 2}{x + x^{-1} + 3} = \frac{20}{10} = 2$$

答案求得

$$2$$

第 9 題 • 立方和約分與完全平方式（無跳步詳解版）目標答案：$1$

若 $\frac{64^x + 64^{-x}}{4^x + 4^{-x}} = 1$，則：

$$16^x = \; ?$$

條列式無跳步推導步驟

1 步驟一：底數轉換與立方和因式分解

注意到 $64 = 4^3$，因此 $64^x = (4^3)^x = (4^x)^3$ 且 $64^{-x} = (4^{-x})^3$。
令 $A = 4^x$，$B = 4^{-x}$，利用立方和公式 $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$：

$$64^x + 64^{-x} = (4^x)^3 + (4^{-x})^3 = (4^x + 4^{-x})\left[(4^x)^2 - 4^x \cdot 4^{-x} + (4^{-x})^2\right]$$ $$= (4^x + 4^{-x})\left(4^{2x} - 1 + 4^{-2x}\right) = (4^x + 4^{-x})\left(16^x - 1 + 16^{-x}\right)$$

2 步驟二：代回原分式約分並建立方程式

分子分母約去共通項 $(4^x + 4^{-x})$：

$$\frac{64^x + 64^{-x}}{4^x + 4^{-x}} = \frac{(4^x + 4^{-x})(16^x - 1 + 16^{-x})}{4^x + 4^{-x}} = 16^x - 1 + 16^{-x} = 1$$ $$16^x + 16^{-x} = 1 + 1 = 2$$

3 步驟三：令未知數換元求解一元二次方程

令 $u = 16^x > 0$，則 $16^{-x} = \frac{1}{u}$：

$$u + \frac{1}{u} = 2 \implies u^2 - 2u + 1 = 0 \implies (u - 1)^2 = 0 \implies u = 1$$ $$\therefore 16^x = 1 \quad (\text{此時 } x = 0)$$

$$16^x = 1$$

第 10 題 • 指數函數點對稱性與千項求和（大一高等視角詳解版）

(1) 嚴格證畢 (2) 答案：500

設實數函數 $f(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}$：

(1) 證明恆等式：$f(x) + f(1-x) = 1$。

(2) 求 $f\left(\frac{1}{1001}\right) + f\left(\frac{2}{1001}\right) + \cdots + f\left(\frac{1000}{1001}\right)$ 之值。

代數核心：繁分式同乘 $4^x$ 消除負指數幾何本質：以點 $(1/2, 1/2)$ 為對稱中心高等視角：神經網絡 Sigmoid 激活函數互補性

條列式無跳步推導步驟（含大一高等數學視角）

零心算繁分式拆解、點對稱幾何證明與微積分定積分關聯

1 (1) 步驟一微觀拆解：自變數代換、指數律拆解與繁分式同乘有理化

許多同學在此步驟卡在「為什麼分子分母同乘 $4^x$ 之後能剛好約分」。我們逐行拆解：

細節 1-1：自變數代入 $(1-x)$

將函數定義 $f(t) = \frac{4^t}{4^t + 2}$ 中的 $t$ 替換為 $1-x$：

$$f(1-x) = \frac{4^{1-x}}{4^{1-x} + 2}$$

細節 1-2：依指數律化為分數（消滅減號指數）

依據指數除法律則 $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$，有 $4^{1-x} = \frac{4^1}{4^x} = \frac{4}{4^x}$。將此代入原式形成「繁分式」：

$$f(1-x) = \frac{\dfrac{4}{4^x}}{\dfrac{4}{4^x} + 2}$$

細節 1-3：繁分式化簡（分子與分母同時乘以 $4^x$）

因為 $4^x > 0 \neq 0$，利用分數的基本性質，分子與分母同時乘以 $4^x$ 消除內層分母：

$$\begin{aligned} f(1-x) &= \frac{\left(\dfrac{4}{4^x}\right) \times 4^x}{\left(\dfrac{4}{4^x} + 2\right) \times 4^x} \\ &= \frac{4}{\left(\dfrac{4}{4^x}\right) \times 4^x + 2 \times 4^x} \\ &= \frac{4}{4 + 2 \times 4^x} \end{aligned}$$

細節 1-4：提出公因數 2 進行約分

觀察分母 $4 + 2 \times 4^x = 2(2 + 4^x)$，分子為 $4 = 2 \times 2$，分子分母約去公因數 2：

$$\begin{aligned} f(1-x) &= \frac{2 \times 2}{2 \times (2 + 4^x)} \\ &= \frac{2}{4^x + 2} \end{aligned}$$

細節 1-5：同分母相加合併得證

此時 $f(x)$ 與 $f(1-x)$ 的分母完全相同（皆為 $4^x + 2$）：

$$\begin{aligned} f(x) + f(1-x) &= \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{2}{4^x + 2} \\ &= \frac{4^x + 2}{4^x + 2} \\ &= 1 \quad (\text{嚴格得證}) \end{aligned}$$

★ 大一高等數學三大視角：點對稱、Sigmoid 與定積分 King's Property

① 幾何中心點對稱定理

若實數函數滿足 $f(x) + f(2a-x) = 2b$，則圖形必以 $(a, b)$ 為旋轉對稱中心。
比對 $2a=1 \implies a=\frac{1}{2}$，$2b=1 \implies b=\frac{1}{2}$。
結論：函數圖形嚴格以點 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 呈 $180^\circ$ 旋轉點對稱！

② 機器學習 Sigmoid 激活函數

神經網絡核心激活函數 $\sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$ 滿足 $\sigma(z) + \sigma(-z) = 1$。
將本題函數分子分母同除以 $4^x$： $$f(x) = \frac{1}{1 + 2 \cdot 4^{-x}} = \frac{1}{1 + 2^{-2(x - 1/2)}}$$ 本質就是以 $x=\frac{1}{2}$ 為中心平移的標準 S 型 Sigmoid 曲線！

③ 微積分定積分與黎曼和

令 $I = \int_0^1 f(x)\,dx$。利用 King's Property 換元 $u = 1-x$： $$2I = \int_0^1 [f(x) + f(1-x)]\,dx = \int_0^1 1\,dx = 1 \implies I = \frac{1}{2}$$ 區間內平均高度恆為 $\frac{1}{2}$，因此 1000 項的平均值必定精確為 $\frac{1}{2}$！

2 (2) 高斯首尾倒序配對法（無跳步項數精確統計）

所求總和共有 $1000$ 項： $$S = f\left(\frac{1}{1001}\right) + f\left(\frac{2}{1001}\right) + \cdots + f\left(\frac{1000}{1001}\right)$$ 觀察任意首尾對應項的自變數相加： $$\frac{k}{1001} + \frac{1001 - k}{1001} = \frac{k + (1001 - k)}{1001} = \frac{1001}{1001} = 1$$ 由 (1) 的結論，當兩輸入之和為 1 時，兩函數值之和必恆等於 1： $$f\left(\frac{k}{1001}\right) + f\left(\frac{1001 - k}{1001}\right) = 1$$

• 第 1 組：$f\left(\frac{1}{1001}\right) + f\left(\frac{1000}{1001}\right) = 1$

• 第 2 組：$f\left(\frac{2}{1001}\right) + f\left(\frac{999}{1001}\right) = 1$

• 第 3 組：$f\left(\frac{3}{1001}\right) + f\left(\frac{998}{1001}\right) = 1$

$\vdots$

• 第 500 組：$f\left(\frac{500}{1001}\right) + f\left(\frac{501}{1001}\right) = 1$

全部 $1000$ 項恰好無遺漏地配成 $500$ 組，每一組的和均為 $1$：

$$\begin{aligned} S &= \sum_{k=1}^{500} \left[f\left(\frac{k}{1001}\right) + f\left(1 - \frac{k}{1001}\right)\right] \\ &= \sum_{k=1}^{500} 1 \\ &= 500 \times 1 \\ &= 500 \end{aligned}$$

$$(1) \text{ 已完成嚴格代數與幾何證明} \qquad (2) \text{ 總和 } = 500$$

應用 1 • 細菌等比增殖模型（無跳步詳解版） (1) a=3　(2) 3200000　(3) 4日

設某實驗中，細菌每一日增加 $a$ 倍（即為原來的 $a+1$ 倍），且已知 3 日後的細菌數是 $200000$，$4\frac{1}{2}$ 日後的細菌數是 $1600000$，試求：
(1) $a = \; ?$　(2) 5 日後的細菌數？　(3) 細菌數為 $800000$ 時所須的日數？

條列式無跳步推導步驟

1 步驟一：列出指數函數模型並求每日公比 $r = a+1$

設初始細菌數為 $N_0$，每日倍數為 $r = a+1$。則 $t$ 日後的細菌數為 $N(t) = N_0 \cdot r^t$：

$$N(3) = N_0 \cdot r^3 = 200000 = 2 \times 10^5 \quad \cdots (1)$$ $$N\left(\frac{9}{2}\right) = N_0 \cdot r^{\frac{9}{2}} = 1600000 = 1.6 \times 10^6 \quad \cdots (2)$$

兩式相除消去 $N_0$：

$$\frac{N(9/2)}{N(3)} = r^{\frac{9}{2} - 3} = r^{\frac{3}{2}} = \frac{1600000}{200000} = 8 = 2^3$$ $$\left(r^{\frac{1}{2}}\right)^3 = 2^3 \implies r^{\frac{1}{2}} = 2 \implies r = 2^2 = 4$$ $$a + 1 = 4 \implies \mathbf{a = 3}$$

2 步驟二：(2) 求 5 日後的細菌數

已知 3 日後有 $200000$ 隻，從第 3 日到第 5 日歷時 2 天，相當於乘上 $r^2$：

$$N(5) = N(3) \times r^{5-3} = 200000 \times 4^2 = 200000 \times 16 = \mathbf{3200000} \quad (\text{即 } 3.2 \times 10^6)$$

3 步驟三：(3) 細菌數為 800000 時的日數

$$N(t) = N(3) \cdot 4^{t-3} = 200000 \cdot 4^{t-3} = 800000$$ $$4^{t-3} = \frac{800000}{200000} = 4 = 4^1 \implies t - 3 = 1 \implies \mathbf{t = 4} \text{ 日}$$

(1) $a = 3$　(2) $3200000$　(3) $4$ 日

應用 2 • 藥量殘留與吸收比值（無跳步詳解版） (1) 230.4毫克　(2) 0.36

吞藥後 $t$ 小時殘留在胃裡的藥量為 $M(t) = 450 \times (0.64)^t$ 毫克：
(1) 經過 1.5 小時後藥量殘存多少毫克？
(2) 自 $t$ 小時到 $t+1$ 小時內吸收的藥量，與 $t$ 小時後殘留藥量的比值為何？

條列式無跳步推導步驟

1 (1) 代入 $t = 1.5$ 進行小數分數指數計算

$1.5 = \frac{3}{2}$，且 $0.64 = (0.8)^2$：

$$M(1.5) = 450 \times (0.64)^{\frac{3}{2}} = 450 \times \left[(0.8)^2\right]^{\frac{3}{2}} = 450 \times (0.8)^{2 \times \frac{3}{2}}$$ $$= 450 \times (0.8)^3 = 450 \times 0.512 = \mathbf{230.4} \text{ (毫克)}$$

2 (2) 吸收藥量與殘留藥量之比值

在時段 $[t, t+1]$ 內人體「吸收」的藥量，等於胃中「減少」的殘存藥量：

$$\text{吸收量} = M(t) - M(t+1) = M(t) - M(t) \cdot (0.64)^1 = M(t)(1 - 0.64) = 0.36 \cdot M(t)$$ $$\text{比值} = \frac{\text{吸收藥量}}{M(t)} = \frac{0.36 \cdot M(t)}{M(t)} = \mathbf{0.36} \quad \left(\text{亦即 } \frac{9}{25} \text{ 或 } 36\%\right)$$

(1) $230.4$ 毫克　(2) $0.36$

應用 3 • 核電廠輻射外洩感染模型（無跳步詳解版） (1) 51400人　(2) 最少30小時

感染人數模式：$N = 200\left(1 + 2^{\frac{x}{3}}\right)$，其中 $x$ 為經過小時數：
(1) 災害發生後一天（24 小時），受感染人數約有多少人？
(2) 災害發生後最少多少個小時（取整數），受感染人數將超過 200000 人？

條列式無跳步推導步驟

1 (1) 代入 $x = 24$ 小時

$$N = 200\left(1 + 2^{\frac{24}{3}}\right) = 200\left(1 + 2^8\right) = 200(1 + 256) = 200 \times 257 = \mathbf{51400} \text{ (人)}$$

2 (2) 解不等式 $N > 200000$ 並估算 2 的次方

$$200\left(1 + 2^{\frac{x}{3}}\right) > 200000 \implies 1 + 2^{\frac{x}{3}} > \frac{200000}{200} = 1000 \implies 2^{\frac{x}{3}} > 999$$

檢驗 2 的整數次方數值：

$2^9 = 512 < 999$（尚未超過）
$2^{10} = 1024 > 999$（首次超過！）

$$\frac{x}{3} \ge 10 \implies x \ge 30 \text{ (小時)}$$

(1) $51400$ 人　(2) 最少 $30$ 個小時

應用 4 • 細菌每分3倍增殖與初值（無跳步詳解版）選項 (E) 57 分鐘

容器中細菌每隔 1 分鐘增為 3 倍。開頭放 1 個細菌，1 小時後容器內總數達到 $N$ 個。如果開頭放入 27 個細菌，試問最少經過多少時間容器內細菌總數會達到 $N$ 個？
(A) 27 分鐘 (B) 36 分鐘 (C) 45 分鐘 (D) 54 分鐘 (E) 57 分鐘。

條列式無跳步推導步驟

1 步驟一：依據條件求出容器上限容量 $N$

1 小時 $= 60$ 分鐘。開頭 1 個細菌每分鐘變為 3 倍：

$$N = 1 \times 3^{60} = 3^{60} \text{ 個}$$

2 步驟二：改放 27 個細菌並列出 $t$ 分鐘後的總數

27 可以改寫為 3 的次方：$27 = 3^3$。經過 $t$ 分鐘後：

$$\text{總數} = 27 \times 3^t = 3^3 \times 3^t = 3^{t+3}$$ $$\text{令其等於 } N：3^{t+3} = 3^{60} \implies t + 3 = 60 \implies \mathbf{t = 57} \text{ 分鐘}$$

選 (E) 57 分鐘

應用 5 • 年均所得複合成長率估計（無跳步詳解版）選項 (C) 8%

2018 年中國人均 6000 美元，專家預測 2048 年達到 60000 美元。若此預測成真，從 2018 到 2048 年平均每年成長率最可能為哪項？
(已知 $1.03^{30} \approx 2.43, 1.05^{30} \approx 4.32, 1.08^{30} \approx 10.06, 1.11^{30} \approx 22.89, 1.14^{30} \approx 50.95$)
(A) 3% (B) 5% (C) 8% (D) 11% (E) 14%。

條列式無跳步推導步驟

1 步驟一：計算經過年數與複利倍數

經過時間：$2048 - 2018 = 30$ 年。
設年平均成長率為 $r$，則 30 年後的所得為 $6000 \times (1 + r)^{30}$：

$$6000 \times (1 + r)^{30} = 60000 \implies (1 + r)^{30} = \frac{60000}{6000} = 10$$

2 步驟二：比對已知數據找出最佳近似值

• $1.03^{30} \approx 2.43$

• $1.05^{30} \approx 4.32$

• $1.08^{30} \approx 10.06$（與目標值 10 最接近！）

• $1.11^{30} \approx 22.89$

$$1 + r \approx 1.08 \implies r \approx 0.08 = \mathbf{8\%}$$

選 (C) 8%

應用 6 • 布袋蓮面積蔓延指數成長（無跳步詳解版）答案：960 平方公尺

池塘中布袋蓮現在面積為 30 平方公尺，6 個月後蔓延到 240 平方公尺。若蔓延範圍增加的倍數一定，試問 10 個月後布袋蓮蔓延的範圍為多少平方公尺？

條列式無跳步推導步驟

1 步驟一：設每月成長因子為 $k$ 並求 $k^2$

$t$ 個月後的面積為 $A(t) = 30 \cdot k^t$。已知 6 個月後：

$$30 \cdot k^6 = 240 \implies k^6 = \frac{240}{30} = 8 = 2^3$$ $$(k^2)^3 = 2^3 \implies k^2 = 2$$

2 步驟二：計算 10 個月後的面積 $A(10)$

$$A(10) = 30 \cdot k^{10} = 30 \cdot (k^2)^5 = 30 \cdot 2^5 = 30 \times 32 = \mathbf{960} \text{ (平方公尺)}$$

$960$ 平方公尺

應用 7 • 雙放射性物質半衰期回溯（無跳步詳解版）質量比：3 : 8

設 $A$ 半衰期為 30 天，$B$ 半衰期為 20 天。現在某礦石含有此兩物質，質量比為 $3 : 2$，則 120 天前 $A$、$B$ 兩放射性物質的質量比為？

條列式無跳步推導步驟

1 步驟一：半衰期回溯原理

每過一個半衰期質量減半；因此「往前推算」一個半衰期，質量應為現在的 2 倍：

$$m(-T) = m(0) \times 2^{\frac{T}{T_{1/2}}}$$

2 步驟二：分別計算 $A$ 與 $B$ 物質在 120 天前的質量

設現在質量 $m_A = 3k$，$m_B = 2k$：

物質 $A$：120 天經過了 $\frac{120}{30} = 4$ 次半衰期 $\implies m_A(-120) = 3k \times 2^4 = 3k \times 16 = 48k$
物質 $B$：120 天經過了 $\frac{120}{20} = 6$ 次半衰期 $\implies m_B(-120) = 2k \times 2^6 = 2k \times 64 = 128k$

3 步驟三：約分化簡質量最簡整數比

$$\text{比值} = \frac{48k}{128k} = \frac{48 \div 16}{128 \div 16} = \frac{3}{8} \implies \mathbf{3 : 8}$$

$3 : 8$

應用 8 • 止痛藥代謝半衰指數不等式（無跳步詳解版）至少 24 小時

服藥經過 $h$ 小時後殘留倍數為 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{h}{4}}$。殘留量低於或等於原來的 $\frac{1}{64}$ 倍時稱為代謝完成，試求至少需要多少小時？

條列式無跳步推導步驟

1 步驟一：將邊界目標值化為底數 $\frac{1}{2}$ 的次方

$$\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = \left(\frac{1}{2}\right)^6$$

2 步驟二：解底數小於 1 的指數不等式（關鍵轉向）

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{h}{4}} \le \left(\frac{1}{2}\right)^6$$ 因為底數 $0 < \frac{1}{2} < 1$，指數函數為嚴格遞減函數，因此不等號必須反向：

$$\frac{h}{4} \ge 6 \implies h \ge 6 \times 4 = \mathbf{24} \text{ (小時)}$$

至少 $24$ 小時

應用 9 • 養多多飲料乳酸菌成長日數（無跳步詳解版） (1) a=4 (C)　(2) 10天

乳酸菌每天增長為前一天的 $a$ 倍。已知 3 天後為 $10^5$ 個，6 天後為 $6.4 \times 10^6$ 個：
(1) $a$ 的值為何？(單選) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6。
(2) 至少需要培養多少天，乳酸菌的數量才會超過 $10^9$ 個？(取到整數)

條列式無跳步推導步驟

1 (1) 兩時段相除求日成長因子 $a$

$$\frac{N(6)}{N(3)} = a^{6 - 3} = a^3 = \frac{6.4 \times 10^6}{10^5} = 64 = 4^3 \implies \mathbf{a = 4} \quad (\text{選 C})$$

2 (2) 求超過 $10^9$ 個的最少天數（逐日驗算與次方對照）

已知第 3 天有 $10^5$ 個，第 $t$ 天的數量為 $N(t) = 10^5 \times 4^{t - 3}$：

$$10^5 \times 4^{t - 3} > 10^9 \implies 4^{t - 3} > \frac{10^9}{10^5} = 10^4 = 10000$$

檢驗 4 的次方數值：

$4^5 = 1024 < 10000$
$4^6 = 4096 < 10000$
$4^7 = 16384 > 10000$（首次突破 10000！）

$$t - 3 \ge 7 \implies t \ge 10 \text{ (天)}$$

(1) 選 (C) $a = 4$　(2) 至少需要培養 $10$ 天

類別/題號	題目條件 / 模型	所求目標	核心破解策略	最終答案
代數第 1 題	$a^{2x} = \sqrt{2} + 1$	$\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^x+a^{-x}}$	立方和約分化為 $a^{2x} - 1 + a^{-2x}$，再共軛有理化	$2\sqrt{2} - 1$
代數第 2 題	$a^{2x} = 7 - \sqrt{48}$	$a^{-x} = \frac{1}{a^x}$	湊係數 $2\sqrt{12}$，完全平方拆解 $(2 - \sqrt{3})^2$ 後倒數有理化	$2 + \sqrt{3}$
代數第 3 題	$2^{2x} = 7$	$\frac{2^{3x}+2^{-3x}}{2^x+2^{-x}}$	立方和消去一階項得 $2^{2x} - 1 + 2^{-2x} = 7 - 1 + \frac{1}{7}$	$\frac{43}{7}$
代數第 4 題	$x > 1,\, x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 5$	$x + x^{-1}$	兩端直接取平方，展開中間項 $2AB = 2$，移項 $25 - 2$	$23$
代數第 5 題	$2^x + 2^{-x} = 7$	$8^x + 4^x + 4^{-x} + 8^{-x}$	對稱分組：平方組 $(47)$ 與立方組 $(322)$ 分別展開後相加	$369$
代數第 6 題	$a > 0,\, a^{3x} + a^{-3x} = 52$	$a^x + a^{-x}$ 與 $a^x$	換元法列三次方程 $t^3-3t-52=0 \implies t=4$；一元二次解 $a^x$	$4$ 與 $2 \pm \sqrt{3}$
代數第 7 題	$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$	$\frac{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}}{a + a^{-1}}$	平方得分母 $7$，立方公式得分分子 $18$，直接相除	$\frac{18}{7}$
代數第 8 題	$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$	$\frac{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} + 2}{x + x^{-1} + 3}$	分子代入 $18+2=20$，分母代入 $7+3=10$，相除整除化簡	$2$
代數第 9 題	$\frac{64^x + 64^{-x}}{4^x + 4^{-x}} = 1$	$16^x$	令底數為 4 立方和約分得 $16^x - 1 + 16^{-x} = 1 \implies (16^x - 1)^2 = 0$	$1$
代數第 10 題	$f(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}$	證明與 $\sum_{k=1}^{1000} f\left(\frac{k}{1001}\right)$	指數倒數性質證得 $f(x)+f(1-x)=1$，高斯倒序配對 500 組求和	(1) 已證 (2) $500$
應用第 1 題	細菌每日增為 $a+1$ 倍，3日 20萬，4.5日 160萬	(1) $a$ (2) 5日數 (3) 80萬日數	相除求 $r^{3/2} = 8 \implies r=4 \implies a=3$，再依指數外推	(1) 3 (2) 320萬 (3) 4日
應用第 2 題	胃部殘留藥量 $M(t) = 450 \times (0.64)^t$ 毫克	(1) 1.5小時殘量 (2) 吸收比值	$0.64^{3/2} = (0.8)^3 = 0.512$；吸收量 $[M(t)-M(t+1)]/M(t) = 1-0.64$	(1) 230.4毫克 (2) 0.36
應用第 3 題	輻射感染模型 $N = 200(1 + 2^{x/3})$	(1) 24小時人數 (2) 破20萬的最少小時	代入 $x=24$ 得 $200(1+256)$；解不等式 $2^{x/3} > 999 \implies x/3 \ge 10$	(1) 51400人 (2) 30小時
應用第 4 題	每分3倍，1個細菌60分滿容 $N=3^{60}$	初始放 27 個細菌滿容所需時間	總數式 $27 \times 3^t = 3^3 \times 3^t = 3^{t+3} = 3^{60} \implies t = 57$	選 (E) 57 分鐘
應用第 5 題	2018年 6000美元 $\to$ 2048年 60000美元	30 年複合平均年成長率估算	$(1+r)^{30} = 10$，比對已知表格中 $1.08^{30} \approx 10.06$ 最接近	選 (C) 8%
應用第 6 題	初始 30 平方公尺，6 個月後蔓延至 240 平方公尺	10 個月後的布袋蓮面積	$k^6 = 8 \implies k^2 = 2$；$A(10) = 30 \times (k^2)^5 = 30 \times 32$	960 平方公尺
應用第 7 題	半衰期 $A$ 為 30天、$B$ 為 20天，現在質量比 $3:2$	120 天前兩物質質量比	倒推質量：$m_A(-120) = 3 \times 2^4 = 48$，$m_B(-120) = 2 \times 2^6 = 128$	3 : 8
應用第 8 題	藥物殘留倍數 $y = (1/2)^{h/4}$，代謝標準 $\le 1/64$	達到代謝完成至少需多少小時	$(1/2)^{h/4} \le (1/2)^6$，因底數小於 1 不等號反向 $\implies h/4 \ge 6$	至少 24 小時
應用第 9 題	乳酸菌每日增為 $a$ 倍，3天 $10^5$ 個，6天 $6.4 \times 10^6$ 個	(1) $a$ 的值 (2) 超過 $10^9$ 個的天數	$a^3 = 64 \implies a=4$；$10^5 \times 4^{t-3} > 10^9 \implies 4^{t-3} > 10000$	(1) a=4 (C) (2) 10天

高中指數化簡、對稱函數與應用全集

1 步驟 1：分子因式分解（運用立方和公式，不跳步拆解）

2 步驟 2：求負指數項 $a^{-2x}$ 的值（逐步分母有理化）

3 步驟 3：將已知項與有理化項代回加總（不跳步合併同類項）

1 步驟 1：分子分母同乘 $a^x$（逐項乘開指數律展示）

2 步驟 2：分別求出分子與分母各項的值（詳細乘開）

3 步驟 3：分式有理化除法（完整十字交叉相乘展開）

條列式無跳步推導步驟

條列式無跳步步驟解析

條列式無跳步推導步驟

條列式無跳步推導步驟

條列式無跳步推導步驟

條列式無跳步推導步驟

條列式無跳步推導步驟

條列式無跳步推導步驟

條列式無跳步推導步驟（含大一高等數學視角）

條列式無跳步推導步驟

條列式無跳步推導步驟

條列式無跳步推導步驟

條列式無跳步推導步驟

條列式無跳步推導步驟

條列式無跳步推導步驟

條列式無跳步推導步驟

條列式無跳步推導步驟

條列式無跳步推導步驟

全系列 19 題全景速查對照表