近代物理經典範例 • 愛因斯坦光量子論

光電效應精解：鉀金屬紫外線照射

透過標準直式公式、條列化邏輯拆解，以及可調參數的即時量子物理粒子模擬，徹底搞懂動能與光電子產率！

例

原始題目敘述與已知條件

波長 \(350\text{ nm}\) 和強度 \(1.00\text{ W/m}^2\) 的紫外光照射於金屬鉀（\(\text{K}\)）原子表面：

(a)
求光電子的極大動能值
求出出射電子所具備的最大動能 \(\text{KE}_{\max}\)（單位：\(\text{J}\) 及 \(\text{eV}\)）
(b)
求每秒產生多少光電子
已知僅有 \(0.50\%\) 的入射光子能激發電子，且鉀表面積為 \(1.00\text{ cm}^2\)

已知物理常數與規格整理

入射光波長 \(\lambda\)
350 nm
\(350 \times 10^{-9}\text{ m}\)
光輻射強度 \(I\)
1.00 W/m²
功率密度 \(\text{J}/(\text{s}\cdot\text{m}^2)\)
鉀功函數 \(\phi\)
2.2 eV
\(3.52 \times 10^{-19}\text{ J}\)
照射表面積 \(A\)
1.00 cm²
\(1.00 \times 10^{-4}\text{ m}^2\)
轉換量子效率 \(\eta\)
0.50 %
比率比值 \(0.0050\)
普朗克常數 \(h\)
\(6.63 \times 10^{-34}\)
\(\text{J}\cdot\text{s}\)
互動模擬實驗室

光電效應動態微觀模擬

即時調整波長與強度，直觀觀察光子衝擊金屬鉀並擊出電子的動能變化！

入射紫外光子（\(\lambda = 350\text{ nm}\)）
激發光電子（\(KE_{\max} = 1.35\text{ eV}\)）
鉀原子金屬靶（功函數 \(\phi = 2.2\text{ eV}\)）
光子能量充足：持續產生光電子
350 nm
150nm (深紫) 門檻 564nm 750nm (紅光)
1.00 W/m²
0.2 W/m² 1.0 W/m² (本題) 3.0 W/m²
15% (加速顯示)
1% (近真實) 15% (推薦) 40% (高頻率)
Color-Coded Step-by-Step Mathematical Solution

直式視覺公式・顏色對照詳細解析

公式中各物理量以專屬顏色標注，數值與符號嚴格對齊，一眼即可看懂代入邏輯。

物理量顏色對照圖例（Color Key）
普朗克常數 \(h\)
真空光速 \(c\)
光波長 \(\lambda\)
功函數 \(\phi\)
輻射強度 \(I\)
受光面積 \(A\)
量子效率 \(\eta\)
(a)

求光電子的極大動能 \(\text{KE}_{\max}\)

根據愛因斯坦光電方程式：\(\text{KE}_{\max} = E_{\text{photon}} - \phi\)

核心公式：\(E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}\)
1 步驟一：計算單一入射光子的能量（\(E_{\text{photon}}\)）
\(h\)(天藍) × \(c\)(青綠) ÷ \(\lambda\)(紫)

將 普朗克常數 \(h\) 與 光速 \(c\) 代入分子，分母為 紫外光波長 \(\lambda\)：

$$E_{\text{photon}} = h\nu = \frac{\textcolor{#38bdf8}{h} \times \textcolor{#34d399}{c}}{\textcolor{#c084fc}{\lambda}}$$ $$E_{\text{photon}} = \frac{\textcolor{#38bdf8}{(6.63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s})} \times \textcolor{#34d399}{(3.00 \times 10^8\text{ m/s})}}{\textcolor{#c084fc}{350 \times 10^{-9}\text{ m}}}$$ $$E_{\text{photon}} = \frac{\textcolor{#a78bfa}{1.989 \times 10^{-25}}}{\textcolor{#c084fc}{350 \times 10^{-9}}} \approx \textcolor{#22d3ee}{\mathbf{5.68 \times 10^{-19}\text{ J}}}$$
換算為電子伏特：\(\frac{\textcolor{#22d3ee}{5.68 \times 10^{-19}\text{ J}}}{\textcolor{#94a3b8}{1.60 \times 10^{-19}\text{ J/eV}}} \approx \textcolor{#22d3ee}{\mathbf{3.55\text{ eV}}}\)。
2 步驟二：將鉀金屬的功函數（\(\phi\)）轉換為焦耳（\(\text{J}\)）
\(\phi\)(粉紅) × 基本電荷 \(e\)

題目給定鉀的束縛能功函數為 \(\phi = 2.2\text{ eV}\)，乘上電荷常數換算為國際標準制焦耳：

$$\textcolor{#fb7185}{\phi} = \textcolor{#fb7185}{2.2\text{ eV}} = \textcolor{#fb7185}{2.2} \times \textcolor{#94a3b8}{(1.60 \times 10^{-19}\text{ J})}$$ $$\textcolor{#fb7185}{\phi} = \textcolor{#fb7185}{\mathbf{3.52 \times 10^{-19}\text{ J}}}$$
3 步驟三：相減求得光電子極大動能（\(\text{KE}_{\max}\)）
光子能 \(E_p\)(青色) − 功函數 \(\phi\)(粉紅)

根據能量守恆，入射光子能量扣除鉀金屬表面逸出功即為光電子的最大初動能：

$$\text{KE}_{\max} = \textcolor{#22d3ee}{E_{\text{photon}}} - \textcolor{#fb7185}{\phi}$$ $$\text{KE}_{\max} = \textcolor{#22d3ee}{(5.68 \times 10^{-19}\text{ J})} - \textcolor{#fb7185}{(3.52 \times 10^{-19}\text{ J})}$$ $$\text{KE}_{\max} = (\textcolor{#22d3ee}{5.68} - \textcolor{#fb7185}{3.52}) \times 10^{-19}\text{ J} = \textcolor{#34d399}{\mathbf{2.16 \times 10^{-19}\text{ J}}}$$
轉換為電子伏特：\(\frac{\textcolor{#34d399}{2.16 \times 10^{-19}\text{ J}}}{\textcolor{#94a3b8}{1.60 \times 10^{-19}\text{ J/eV}}} \approx \textcolor{#34d399}{\mathbf{1.35\text{ eV}}}\)。
(b)

求每秒產生多少光電子數 \(n_e\)

計算入射光通量（\(n_p\)）後再乘上轉換效率：\(n_e = \eta \times n_p\)

核心公式：\(n_p = \frac{P}{E_p} = \frac{IA}{E_p}\)
1 步驟一：計算表面每秒接收的總光輻射能量（光功率 \(P = \frac{E}{t}\)）
\(I\)(黃) × \(A\)(綠)

將 輻射強度 \(I\) 乘上 受光表面積 \(A\)，注意面積單位換算：\(1.00\text{ cm}^2 = 1.00 \times 10^{-4}\text{ m}^2\)：

$$P = \frac{E_{\text{total}}}{t} = \textcolor{#fbbf24}{I} \times \textcolor{#4ade80}{A}$$ $$P = \textcolor{#fbbf24}{(1.00\text{ W/m}^2)} \times \textcolor{#4ade80}{(1.00 \times 10^{-4}\text{ m}^2)} = \textcolor{#fbbf24}{\mathbf{1.00 \times 10^{-4}\text{ W (J/s)}}}$$
2 步驟二：以直式繁分數求得每秒入射光子總數（\(n_p\)）
總能量率 \(P\) ÷ 單光子能量 \(E_p\)

每秒抵達金屬表面的光子數等於每秒總能量除以單一光子能量：

$$n_p = \frac{\frac{E}{t}}{\textcolor{#22d3ee}{E_p}} = \frac{(\textcolor{#fbbf24}{P/A})(\textcolor{#4ade80}{A})}{\textcolor{#22d3ee}{E_p}} = \frac{\textcolor{#fbbf24}{(1.00\text{ W/m}^2)}\textcolor{#4ade80}{(1.00 \times 10^{-4}\text{ m}^2)}}{\textcolor{#22d3ee}{5.68 \times 10^{-19}\text{ J/photon}}}$$ $$n_p = \frac{\textcolor{#fbbf24}{1.00 \times 10^{-4}}}{\textcolor{#22d3ee}{5.68 \times 10^{-19}}} \approx \textcolor{#38bdf8}{\mathbf{1.76 \times 10^{14}\text{ 個光子/秒}}}$$
3 步驟三：乘以量子效率求得每秒激發的光電子數（\(n_e\)）
\(\eta\)(洋紅) × \(n_p\)(天藍)

題目指出僅有 \(0.50\%\)（即 \(0.0050\)） 的光子能順利產生光電子：

$$n_e = \textcolor{#e879f9}{\eta} \times \textcolor{#38bdf8}{n_p}$$ $$n_e = \textcolor{#e879f9}{(0.0050)} \times \textcolor{#38bdf8}{(1.76 \times 10^{14}\text{ 個/秒})}$$ $$n_e = \textcolor{#e879f9}{\mathbf{8.8 \times 10^{11}\text{ 個光電子/秒}}}$$

光電效應實時自訂計算機

自訂題目參數，即時驗算單光子能量、極大動能、入射光子數 \(n_p\) 與光電子產率 \(n_e\)

即時動態連動
單光子能量 \(E_p\)
5.68 × 10⁻¹⁹ J
3.55 eV
光電子最大動能 \(\text{KE}_{\max}\)
2.16 × 10⁻¹⁹ J
1.35 eV (可釋出)
每秒入射光子數 \(n_p\)
1.76 × 10¹⁴ 個/s
光功率: 1.00 × 10⁻⁴ W
每秒產生光電子數 \(n_e\)
8.80 × 10¹¹ 個/s
轉換率: 0.50% (激發中)
普朗克量子假說 • 經典範例二

能量量子比較：宏觀音叉 vs 微觀原子震盪器

量子化核心：\(\Delta E = h\nu\)
題目原文

比較一個 \(660\text{ Hz}\) 的音叉和頻率為 \(5 \times 10^{14}\text{ Hz}\) 的原子震盪器的能量量子。

本題色彩標記對照
普朗克常數 \(h = 6.63 \times 10^{-34}\)
音叉頻率 \(\nu_1 = 660\text{ Hz}\)
原子頻率 \(\nu_2 = 5 \times 10^{14}\text{ Hz}\)
能量量子 \(E = h\nu\)
1 音叉之能量量子（宏觀系統）
\(\nu_1 = 660\text{ Hz}\)

根據普朗克能量量子化假設，振動系統每一次吸收或釋放能量的最小基本單位（能量子）為 \(E = h\nu\)：

$$E_1 = \textcolor{#38bdf8}{h} \times \textcolor{#fbbf24}{\nu_1}$$ $$E_1 = \textcolor{#38bdf8}{(6.63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s})} \times \textcolor{#fbbf24}{660\text{ s}^{-1}}$$ $$E_1 = \textcolor{#fbbf24}{660} \times \textcolor{#38bdf8}{6.63 \times 10^{-34}}$$ $$E_1 = \textcolor{#c084fc}{\mathbf{4.38 \times 10^{-31}\text{ J}}}$$
物理意義：\(10^{-31}\text{ J}\) 能量極端微小，宏觀物體隨便震動幾下能量就有數毫焦耳（\(10^{-3}\text{ J}\)），量子階梯密到完全連續，故無法察覺量子化效應。
2 原子震盪器之能量量子（微觀系統）
\(\nu_2 = 5 \times 10^{14}\text{ Hz}\)

微觀原子震盪頻率極高（相當於黃色可見光波段），將原子振動頻率代入直式量子公式：

$$E_2 = \textcolor{#38bdf8}{h} \times \textcolor{#22d3ee}{\nu_2}$$ $$E_2 = \textcolor{#38bdf8}{(6.63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s})} \times \textcolor{#22d3ee}{(5 \times 10^{14}\text{ s}^{-1})}$$ $$E_2 = (\textcolor{#38bdf8}{6.63} \times \textcolor{#22d3ee}{5}) \times 10^{(-34 + 14)}$$ $$E_2 = \textcolor{#34d399}{\mathbf{3.32 \times 10^{-19}\text{ J}}}\quad(\approx 2.07\text{ eV})$$
物理意義：\(3.32 \times 10^{-19}\text{ J} \approx 2.07\text{ eV}\)，正好落在電子能階躍遷與光電效應的能量範圍，因此微觀尺度下「量子化」特徵極度顯著！
量級差距倍率解析

兩者能量子相差高達近 \(10^{12}\) 倍（約一兆倍）

直式比值：$$\frac{E_{\text{atomic}}}{E_{\text{tuning fork}}} = \frac{\textcolor{#34d399}{3.32 \times 10^{-19}\text{ J}}}{\textcolor{#c084fc}{4.38 \times 10^{-31}\text{ J}}} \approx \textcolor{#f59e0b}{\mathbf{7.58 \times 10^{11}\text{ 倍}}}$$ 這正是為什麼宏觀力學看似「連續」，而微觀原子世界則必須全面改寫為「量子力學」的核心證據！

即時量子比對機 E = hν
音叉能量子 \(E_1\): 4.38 × 10⁻³¹ J
原子能量子 \(E_2\): 3.32 × 10⁻¹⁹ J
能量倍數比: 7.58 × 10¹¹ 倍

能量守恆核心定律

光電方程式 \(\text{KE}_{\max} = h\nu - \phi\) 體現一對一碰撞：一個光子只能將全部能量交付給單一電子。電子扣除脫離束縛所需的「逸出功」後，剩餘的即為最高動能。若光子能量小於 \(\phi\)，則光照再強也不會有任何電子逸出！

解題必背三種單位陷阱

  • • eV 與 J 混淆：\(\text{eV}\) 需乘上 \(1.60 \times 10^{-19}\) 才能與焦耳相減。
  • • 面積平方換算：\(1\text{ cm}^2 = (10^{-2}\text{ m})^2 = 10^{-4}\text{ m}^2\)，切勿記成 \(10^{-2}\)。
  • • 奈米長度換算：\(1\text{ nm} = 10^{-9}\text{ m}\)。

強度與頻率的物理區別

光的頻率 \(\nu\) (或波長 \(\lambda\))：決定單一電子的動能大小及能否發生光電效應。

光的強度 \(I\)：代表每秒到達的光子通量（顆數），強度增倍只會讓每秒光電子數量倍增，完全不影響單個電子的最大動能！