波爾氫原子模型
題目提示條列解 力學平衡與量子化假設

氫原子軌道半徑 $r_n$ 與 總能量 $E_n$ 推導

依據題目提示條件：以「庫倫靜電力提供向心力」與「波爾角動量量子化」聯立推導半徑，再由「動能加位能」推導出總能階公式。

波爾原子軌道即時模型 (2D 截面)

n = 1 (基態)
紅色中心：質子 (+e) | 藍色點：電子 (-e)
n = 1
n=1 (基態) n=2 n=3 n=4 n=5 (高激發態)
軌道半徑 $r_n = n^2 a_0$
0.529 Å
52.9 pm
總能量 $E_n = -13.6 / n^2$
-13.60 eV
-2.18 × 10⁻¹⁸ J
動能 $K_n = -E_n$
+13.60 eV
$K > 0$ 正值
位能 $U_n = 2E_n$
-27.20 eV
維里定理：$U = 2E$
💡 物理關係檢驗：$E_n = K_n + U_n = (+13.6/n^2) + (-27.2/n^2) = -13.6/n^2\text{ eV}$
第一部分

1. 軌道半徑量子化公式 ($r_n$) 的條列推導

步驟 1 物理機制：圓周運動向心力平衡

庫倫靜電力提供電子做等速圓周運動之向心力

氫原子核（電荷 $+e$）與繞核電子（質量 $m$、電荷 $-e$、速度 $v$、距離 $r$）之間的吸引力即為向心力：

$$F_e = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} = \frac{m v^2}{r}$$

兩邊同乘半徑 $r$，整理出電子的動能項核心關係：

$$m v^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \quad \text{—— (第 1 式)}$$
步驟 2 量子假設：波爾角動量條件

引入波爾角動量量子化假說

波爾大膽提出：電子只能在特定軌道上運動而不向外輻射電磁波，其軌道角動量 $L$ 必須為 $\frac{h}{2\pi}$ 的整數倍：

$$L = r m v = \frac{n h}{2\pi} \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \quad \text{—— (第 2 式)}$$
• $n$：主量子數（能階編號） • $h$：普朗克常數（$6.626 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$）
步驟 3 代數技巧：消去未知速度變數 $v$

由角動量式將速度 $v$ 用半徑 $r$ 表示

由 (第 2 式) 移項分離出速度 $v$，並將其平方以便與第 1 式聯立：

$$v = \frac{n h}{2\pi m r}$$
$$v^2 = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^2}$$
步驟 4 (結論) 聯立求解半徑 $r_n$

將 $v^2$ 代回向心力關係式 (第 1 式)

將 $v^2 = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^2}$ 代入 $m v^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$：

$$m \left( \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^2} \right) = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$$
約分左式質量 $m$ 並兩邊同乘 $4\pi r^2$：
$$\frac{n^2 h^2}{\pi m} = \frac{e^2 r}{\epsilon_0}$$
★ 軌道半徑量子化最終公式
$$r_n = \left( \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m e^2} \right) n^2 = a_0 n^2$$

當 $n = 1$ 時，定值為波爾半徑 $a_0 = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m e^2} \approx 0.529 \text{ \AA} = 5.29 \times 10^{-11} \text{ m}$，且 $r_n \propto n^2$。

第二部分

2. 總能量公式 ($E_n = K + U$) 的條列推導

步驟 1 電子動能 $K$

利用向心力關係式表示動能 $K$

由先前的向心力平衡式 $m v^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$，電子的動能定義為 $K = \frac{1}{2}mv^2$：

$$K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$$
💡 註：分母因乘上 $\frac{1}{2}$，由 $4\pi\epsilon_0 r$ 變為 $8\pi\epsilon_0 r$。
步驟 2 庫倫電位能 $U$

電子在質子電場中的庫倫位能 $U$

以無窮遠處為位能零點（$U(\infty) = 0$），帶電荷 $+e$ 與 $-e$ 在距離 $r$ 時的靜電位能為負值：

$$U = \frac{(+e)(-e)}{4\pi\epsilon_0 r} = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$$
步驟 3 總能量疊加與維里定理

計算系統總能量 $E = K + U$

將動能與位能相加，進行通分（$8\pi\epsilon_0 r$）：

$$E = K + U = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r} + \left( -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \right)$$
$$E = \frac{e^2 - 2e^2}{8\pi\epsilon_0 r} = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$$
重要物理性質（庫倫場的維里定理 Virial Theorem）：
$$E = -K = \frac{1}{2} U$$
這說明了束縛態總能量必為負值（$E < 0$），代表電子處於穩定被束縛狀態。
步驟 4 (結論) 代入軌道半徑 $r_n$ 導出最終能量

將第一部分求得之 $r_n$ 代入總能量式

代入 $r_n = \frac{\epsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2}$ 至 $E = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$：

$$E_n = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 \left( \frac{\epsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2} \right)}$$
約分 $\pi$，整理繁分式：
$$E_n = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0} \times \frac{\pi m e^2}{\epsilon_0 h^2 n^2} = -\frac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \cdot \frac{1}{n^2}$$
★ 總能量量子化最終公式
$$E_n = -\frac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^2 n^2} = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$$

代入電子質量 $m$、電荷 $e$、真空介電常數 $\epsilon_0$、普朗克常數 $h$，可得出著名的能階基態常數：$E_1 = -13.6 \text{ eV}$，且 $E_n \propto -\frac{1}{n^2}$。

波爾氫原子推導結果總整理表

物理量 解析表達式 $n$ 比例關係 基態數值 ($n = 1$)
軌道半徑 $r_n$ $$r_n = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m e^2} n^2$$ $\propto n^2$ $a_0 \approx 0.529 \text{ \AA}$ ($5.29 \times 10^{-11}\text{ m}$)
繞行速度 $v_n$ $$v_n = \frac{e^2}{2\epsilon_0 h n}$$ $\propto \frac{1}{n}$ $v_1 \approx 2.19 \times 10^6 \text{ m/s} \approx \frac{c}{137}$
動能 $K_n$ $$K_n = \frac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^2 n^2}$$ $\propto \frac{1}{n^2}$ $+13.6 \text{ eV}$
電位能 $U_n$ $$U_n = -\frac{m e^4}{4\epsilon_0^2 h^2 n^2}$$ $\propto -\frac{1}{n^2}$ $-27.2 \text{ eV}$
總能量 $E_n$ $$E_n = -\frac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^2 n^2}$$ $\propto -\frac{1}{n^2}$ $-13.6 \text{ eV}$