講義原文例題與權威解答 (Textbook Ex01)
例： 求出 (a) 46 g 且速度為 30 m/s 的高爾夫球；和 (b) 以速度 \(10^7\text{ m/s}\) 運動之電子的德布羅依波長。
(a) 高爾夫球求解
宏觀經典極限
$$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}}{(0.046\text{ kg})(30\text{ m/s})} = 4.8 \times 10^{-34}\text{ m}$$
📌 講義結論：高爾夫球的波長和其大小相比非常地小，故我們無法預期能找到波的行為。
(b) 運動電子求解
微觀量子波動
$$\text{電子質量 } m \text{ 為 } 9.1 \times 10^{-31}\text{ kg}，\text{我們得到}$$
$$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}}{(9.1 \times 10^{-31}\text{ kg})(10^7\text{ m/s})} = 7.3 \times 10^{-11}\text{ m}$$
📌 講義結論：電子波長與原子大小差不多，因此運動中的電子具有波動性。
德布羅依關係式 (1924)
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$
普朗克常數 \(h\): \(6.63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}\)
高爾夫球質量: \(0.046\text{ kg}\) (46 g)
電子靜止質量: \(9.1 \times 10^{-31}\text{ kg}\)
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隨堂測驗評量進度
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完成四道精選試題，系統將自動解鎖「動畫詳解」與全功能實驗室
第 1 題 / 共 4 題
講義 (a) 題延伸
提示文字
課本例題動畫詳解專區 (Animated Physical Explanations)
以動態視覺化深入剖析：為什麼高爾夫球「無法預期波的行為」，而電子波長「能顯現顯著波動性」？
高爾夫球穿過球道縫隙：極端波長下幾何直線傳播
即時物理渲染中
高爾夫球數值驗證
波長 \(\lambda = 4.8 \times 10^{-34}\text{ m}\)，高爾夫球直徑 \(4.3 \times 10^{-2}\text{ m}\)。波長比球體小 32 個數量級，繞射角 \(\theta \approx 0^\circ\)！
動畫播放速率：
講義 (a) 題：高爾夫球詳細推導與物理析論
雙狹縫／晶格量子波動動態實驗室
即時調整運動速度 \(v\) 與粒子質量 \(m\)，觀察波長 \(\lambda = \frac{h}{mv}\) 如何決定屏幕上的干涉相長與相消條紋！
雙狹縫探測器／螢光屏 (Phosphor Screen & Wavefronts)
薛丁格波函數疊加計算中
電子運動狀態
德布羅依波長 \(\lambda\): 0.073 nm
晶格孔隙 \(d\): 0.15 nm
\(\lambda \approx d\) 滿足繞射條件，干涉明暗條紋顯著！
即時物理量調控台
運動速度 \(v\)：
10⁷ m/s (10,000 km/s)
減速 (波長 \(\lambda \uparrow\))
加速 (波長 \(\lambda \downarrow\))
粒子質量 \(m\)：
9.1 × 10⁻³¹ kg
動量 \(p = mv\)：
9.1 × 10⁻²⁴ kg·m/s
德布羅依波長 \(\lambda\)：
7.3 × 10⁻¹¹ m (0.073 nm)
物理機制剖析：
電子的波長約 \(0.073\text{ nm}\)，與原子晶格間距（約 \(0.1 \sim 0.3\text{ nm}\)）同數量級，雙狹縫兩側次波源在屏幕產生明顯的相消與相長干涉。
常見物理場景快速切換：
例題高爾夫球 vs 高速電子：核心物理參量橫向對照矩陣
講義原文解答精確數值與物理行為本質歸納
| 物理參量 | (a) 高爾夫球 (46 g, 30 m/s) | (b) 運動電子 (\(10^7\text{ m/s}\)) | 物理意涵與對比分析 |
|---|---|---|---|
| 質量 \(m\) | \(0.046\text{ kg} = 4.6 \times 10^{-2}\text{ kg}\) | \(9.1 \times 10^{-31}\text{ kg}\) | 高爾夫球質量比電子大了近 \(10^{29}\) 倍！ |
| 運動速度 \(v\) | \(30\text{ m/s}\) (約 \(108\text{ km/h}\)) | \(10^7\text{ m/s}\) (約光速的 3.3%) | 電子速度極高，動量仍由極小質量主導 |
| 動量 \(p = mv\) | \(1.38\text{ kg}\cdot\text{m/s}\) | \(9.1 \times 10^{-24}\text{ kg}\cdot\text{m/s}\) | 分母 \(mv\) 越小，物質波長 \(\lambda\) 越長 |
| 德布羅依波長 \(\lambda\) | \(4.8 \times 10^{-34}\text{ m}\) | \(7.3 \times 10^{-11}\text{ m} = 0.73\text{ \AA}\) | 波長相差了整整 23 個數量級！ |
| 特徵參考尺寸 \(d\) | 高爾夫球直徑 \(4.3 \times 10^{-2}\text{ m}\) | 原子大小／晶格常數 \(1 \sim 3\text{ \AA}\) | 決定能否觀察到繞射的前提 (\(\lambda \approx d\)) |
| 最終物理表現 | 波長極小，無法預期波的行為 (純古典粒子) | 波長與原子相當，具有顯著波動性 (繞射、干涉) | 宏觀適用牛頓力學；微觀必須採用量子波動力學 |
宇宙對數尺度光譜 (Logarithmic Scale from \(10^{-35}\) to \(10^0\text{ m}\))
點擊上方尺度節點
高爾夫球波長比其本身尺寸小了 32 個數量級，比質子原子核小了 19 個數量級。宇宙中沒有任何物理孔隙小到足以讓其產生繞射，這正是宏觀物體波動性隱匿的根本原因。