高中數學題精解：指數化簡、雙重根號與乘法公式全集

第 1 題 • 指數分式因式分解（無跳步詳解版）

目標答案：$2\sqrt{2} - 1$

設 $a^{2x} = \sqrt{2} + 1$，則：

$$\frac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}} = \; ?$$

考點：立方和公式考點：分母有理化

1 步驟 1：分子因式分解（運用立方和公式，不跳步拆解）

標準立方和公式為：$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$。
在分子中，我們設定：

首項 $A = a^x \implies A^3 = (a^x)^3 = a^{x \times 3} = a^{3x}$
末項 $B = a^{-x} \implies B^3 = (a^{-x})^3 = a^{(-x) \times 3} = a^{-3x}$
中間交叉項：$AB = a^x \cdot a^{-x} = a^{x + (-x)} = a^0 = 1$
首項平方：$A^2 = (a^x)^2 = a^{x \times 2} = a^{2x}$
末項平方：$B^2 = (a^{-x})^2 = a^{(-x) \times 2} = a^{-2x}$

將上述各項代回公式：

$$a^{3x} + a^{-3x} = (a^x + a^{-x})\left(a^{2x} - 1 + a^{-2x}\right)$$

接著代入原分式中，分子與分母直接相消共同項 $(a^x + a^{-x})$：

$$\frac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}} = \frac{\cancel{(a^x + a^{-x})}(a^{2x} - 1 + a^{-2x})}{\cancel{a^x + a^{-x}}} = a^{2x} - 1 + a^{-2x}$$

2 步驟 2：求負指數項 $a^{-2x}$ 的值（逐步分母有理化）

已知 $a^{2x} = \sqrt{2} + 1$。依負指數定義：$a^{-2x} = \frac{1}{a^{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$。

分子與分母同時乘以共軛根式 $(\sqrt{2} - 1)$，利用平方差公式 $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$：

$$a^{-2x} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}$$ $$= \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1$$

3 步驟 3：將已知項與有理化項代回加總（不跳步合併同類項）

將 $a^{2x} = \sqrt{2} + 1$ 與 $a^{-2x} = \sqrt{2} - 1$ 代入步驟 1 的簡化式：

$$\text{原式} = a^{2x} - 1 + a^{-2x}$$ $$= (\sqrt{2} + 1) - 1 + (\sqrt{2} - 1)$$ $$= \sqrt{2} + 1 - 1 + \sqrt{2} - 1$$ $$= (\sqrt{2} + \sqrt{2}) + (1 - 1 - 1)$$ $$= 2\sqrt{2} - 1$$

最終答案：$2\sqrt{2} - 1$

1 步驟 1：分子分母同乘 $a^x$（逐項乘開指數律展示）

為了消除分子與分母中最棘手的負指數項，我們在分子與分母同時乘以 $a^x$：

$$\frac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}} = \frac{(a^{3x} + a^{-3x}) \cdot a^x}{(a^x + a^{-x}) \cdot a^x}$$ $$= \frac{a^{3x} \cdot a^x + a^{-3x} \cdot a^x}{a^x \cdot a^x + a^{-x} \cdot a^x} = \frac{a^{3x+x} + a^{-3x+x}}{a^{x+x} + a^{-x+x}}$$ $$= \frac{a^{4x} + a^{-2x}}{a^{2x} + a^0} = \frac{a^{4x} + a^{-2x}}{a^{2x} + 1}$$

2 步驟 2：分別求出分子與分母各項的值（詳細乘開）

① 分母的值： $$a^{2x} + 1 = (\sqrt{2} + 1) + 1 = 2 + \sqrt{2}$$

② 分子中 $a^{4x}$ 的值（取平方展開）： $$a^{4x} = (a^{2x})^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(1) + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$$

③ 分子中 $a^{-2x}$ 的值（有理化）： $$a^{-2x} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$$

④ 分子總和： $$a^{4x} + a^{-2x} = (3 + 2\sqrt{2}) + (\sqrt{2} - 1) = (3 - 1) + (2\sqrt{2} + \sqrt{2}) = 2 + 3\sqrt{2}$$

3 步驟 3：分式有理化除法（完整十字交叉相乘展開）

將分子與分母的值組合，並分子分母同乘分母的共軛式 $(2 - \sqrt{2})$：

$$\frac{a^{4x} + a^{-2x}}{a^{2x} + 1} = \frac{2 + 3\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{(2 + 3\sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}$$ $$= \frac{2 \cdot 2 - 2 \cdot \sqrt{2} + 3\sqrt{2} \cdot 2 - 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2^2 - (\sqrt{2})^2}$$ $$= \frac{4 - 2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 3(2)}{4 - 2}$$ $$= \frac{4 - 2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 6}{2}$$ $$= \frac{(4 - 6) + (-2\sqrt{2} + 6\sqrt{2})}{2} = \frac{-2 + 4\sqrt{2}}{2}$$ $$= \frac{-2}{2} + \frac{4\sqrt{2}}{2} = -1 + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 1$$

最終答案：$2\sqrt{2} - 1$

第 2 題 • 雙重根號與負指數（無跳步詳解版）

目標答案：$2 + \sqrt{3}$

已知 $a^{2x} = 7 - \sqrt{48}$，求：

$$a^{-x} = \frac{1}{a^x} = \; ?$$

條列式無跳步推導步驟

切換解法，包含為什麼必須湊係數 2、完全平方如何拆解

1 步驟一：根號提出因數，湊出雙重根號必備的係數 2

雙重根號的展開公式為 $\sqrt{(u+v) \pm 2\sqrt{uv}}$，注意到內層根號前方必須要有係數 2。
因此將 $\sqrt{48}$ 拆解提出 $4$ 的平方根：

$$\sqrt{48} = \sqrt{4 \times 12} = \sqrt{4} \times \sqrt{12} = 2\sqrt{12}$$ $$\implies a^{2x} = 7 - \sqrt{48} = 7 - 2\sqrt{12}$$

2 步驟二：化簡雙重根號求 $a^x$（嚴格正負號判定）

尋找兩個正數 $u, v$，滿足「相加等於 $7$」且「相乘等於 $12$」：

• 聯立條件：$u + v = 7$ 且 $u \cdot v = 12$

• 解得：$u = 4,\; v = 3$（此處令較大數在前 $u > v$）

將 $7 - 2\sqrt{12}$ 重組為完全平方：

$$7 - 2\sqrt{12} = (4 + 3) - 2\sqrt{4 \times 3} = (\sqrt{4})^2 - 2\sqrt{4}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{4} - \sqrt{3})^2$$

兩側開平方根求 $a^x$。由於指數函數 $a^x > 0$，且 $\sqrt{4} = 2 > \sqrt{3} \approx 1.732$，故取正值：

$$a^x = \sqrt{a^{2x}} = \sqrt{(\sqrt{4} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$$

3 步驟三：有理化求 $a^{-x}$（不跳步平方差展開）

依據定義 $a^{-x} = \frac{1}{a^x} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$。分子分母同乘 $(2 + \sqrt{3})$：

$$a^{-x} = \frac{1 \times (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1} = 2 + \sqrt{3}$$

最終答案：$a^{-x} = 2 + \sqrt{3}$

1 步驟一：先求倒數 $a^{-2x}$ 並逐步有理化

由負指數倒數定義：$a^{-2x} = \frac{1}{a^{2x}} = \frac{1}{7 - \sqrt{48}}$。
分子分母同乘共軛式 $(7 + \sqrt{48})$：

$$a^{-2x} = \frac{1 \times (7 + \sqrt{48})}{(7 - \sqrt{48})(7 + \sqrt{48})} = \frac{7 + \sqrt{48}}{7^2 - (\sqrt{48})^2}$$ $$= \frac{7 + \sqrt{48}}{49 - 48} = \frac{7 + \sqrt{48}}{1} = 7 + \sqrt{48}$$

將 $\sqrt{48}$ 提出因數湊係數 2：$\sqrt{48} = \sqrt{4 \times 12} = 2\sqrt{12}$：

$$a^{-2x} = 7 + 2\sqrt{12}$$

2 步驟二：超詳細解析「$a^{-x} = \sqrt{7 + 2\sqrt{12}}$」開根號完全拆解

細部 ①：完全平方展開的對稱結構

兩根號相加平方公式：$(\sqrt{u} + \sqrt{v})^2 = (\sqrt{u})^2 + 2\sqrt{u}\sqrt{v} + (\sqrt{v})^2 = (u + v) + 2\sqrt{u \times v}$。
對照目標式 $7 + 2\sqrt{12}$：

整數部分代表兩數和：$u + v = 7$；根號內部代表兩數積：$u \times v = 12$。

細部 ②：因數篩選過程（零心算跳步）

將乘積為 12 的正整數因數對一一列出檢驗：

$1 \times 12 = 12$，但 $1 + 12 = 13 \neq 7$（不符合）
$2 \times 6 = 12$，但 $2 + 6 = 8 \neq 7$（不符合）
$3 \times 4 = 12$，且 $3 + 4 = 7$（完全符合！）

取定 $u = 4,\; v = 3$

細部 ③：拆解重組與開方

$$7 + 2\sqrt{12} = (4 + 3) + 2\sqrt{4 \times 3} = (\sqrt{4})^2 + 2\sqrt{4}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{4} + \sqrt{3})^2$$ $$a^{-x} = \sqrt{a^{-2x}} = \sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}$$

細部 ④：反向平方驗算

將 $2 + \sqrt{3}$ 平方還原驗算：

$$(2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} = 7 + \sqrt{16 \times 3} = 7 + \sqrt{48}$$ 驗算結果完全相符！

$$a^{-x} = 2 + \sqrt{3}$$

第 3 題 • 指數立方和化簡（無跳步詳解版）

目標答案：$\frac{43}{7}$

設 $2^{2x} = 7$，則：

$$\frac{2^{3x} + 2^{-3x}}{2^x + 2^{-x}} = \; ?$$

本質：第 1 題的整數版孿生題秒殺策略：立方和公式因式分解關鍵轉化：$2^{-2x} = \frac{1}{2^{2x}} = \frac{1}{7}$

條列式無跳步步驟解析

提供兩種經典視角：立方和約分法 vs 分子分母同乘法

1 步驟一：利用立方和乘法公式拆解分子（逐項代換）

乘法公式立方和為：$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$。
在分子中令 $A = 2^x$、$B = 2^{-x}$：

$A^3 = (2^x)^3 = 2^{3x}$
$B^3 = (2^{-x})^3 = 2^{-3x}$
相加一次項：$A + B = 2^x + 2^{-x}$
平方和項：$A^2 + B^2 = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 = 2^{2x} + 2^{-2x}$
相乘交叉項：$AB = 2^x \cdot 2^{-x} = 2^{x + (-x)} = 2^0 = 1$

分子可完整表示為：

$$2^{3x} + 2^{-3x} = (2^x + 2^{-x})\left[(2^x)^2 - 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2\right]$$ $$= (2^x + 2^{-x})\left(2^{2x} - 1 + 2^{-2x}\right)$$

2 步驟二：代回原分式約分，消除分母共通因式

分子與分母同時含有因式 $(2^x + 2^{-x})$，直接約去：

$$\frac{2^{3x} + 2^{-3x}}{2^x + 2^{-x}} = \frac{\cancel{(2^x + 2^{-x})}(2^{2x} - 1 + 2^{-2x})}{\cancel{2^x + 2^{-x}}} = 2^{2x} - 1 + 2^{-2x}$$

3 步驟三：代入已知條件 $2^{2x} = 7$ 進行通分運算（無跳步通分）

已知 $2^{2x} = 7$，依負指數性質 $2^{-2x} = \frac{1}{2^{2x}} = \frac{1}{7}$。
代入求值並通分：

$$\text{原式} = 2^{2x} - 1 + 2^{-2x}$$ $$= 7 - 1 + \frac{1}{7}$$ $$= 6 + \frac{1}{7}$$ $$= \frac{6 \times 7}{7} + \frac{1}{7}$$ $$= \frac{42}{7} + \frac{1}{7} = \frac{42 + 1}{7} = \frac{43}{7}$$

答案求得

$$\frac{43}{7} \quad \left(\text{化為帶分數為 } 6\frac{1}{7}\right)$$

第 4 題 • 分數指數與完全平方公式（無跳步詳解版）

目標答案：$23$

已知 $x > 1$，設 $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 5$，則：

$$x + x^{-1} = \; ?$$

核心：乘方指數律 $(x^{1/2})^2 = x$ 核心：完全平方和展開 $(A+B)^2$ 陷阱解析：條件 $x > 1$ 的真實用意

條列式無跳步推導步驟

標準乘法公式平方變形法，每一項展開皆完整寫出

1 步驟一：將已知等式兩邊同時取平方（說明理由）

題目已知的是「$\frac{1}{2}$ 次方」，而所求是「$1$ 次方與 $-1$ 次方」。
根據指數律 $(u^m)^n = u^{mn}$，有 $\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2 = x^{\frac{1}{2} \times 2} = x^1 = x$，因此平方是升次的唯一捷徑：

$$\left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = 5^2$$

2 步驟二：利用和的平方公式展開左式 $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

令 $A = x^{\frac{1}{2}}$、$B = x^{-\frac{1}{2}}$，逐步細拆每一項：

• 首項平方：$A^2 = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2 = x^{\frac{1}{2} \times 2} = x^1 = x$

• 中間交叉項：$2AB = 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = 2 \cdot x^{\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)} = 2 \cdot x^0 = 2 \cdot 1 = 2$

• 末項平方：$B^2 = \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = x^{-\frac{1}{2} \times 2} = x^{-1} = \frac{1}{x}$

展開重組後左式為：

$$\left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = x + 2 + x^{-1}$$

3 步驟三：聯立等式右邊常數 $5^2 = 25$ 並等量移項

將展開後的左式與右式數值 $25$ 等置：

$$x + 2 + x^{-1} = 25$$ $$\text{等號兩邊同時減去 } 2：(x + 2 + x^{-1}) - 2 = 25 - 2$$ $$x + x^{-1} = 23$$

答案求得

$$x + x^{-1} = 23$$

★ 段考高頻延伸題（雙向檢驗：為什麼題目特別註明 $x > 1$？）

延伸問題 ①：求 $x^2 + x^{-2} = \; ?$
將剛才算得的 $x + x^{-1} = 23$ 再次兩邊取平方： $$(x + x^{-1})^2 = 23^2 \implies x^2 + 2\cdot x\cdot x^{-1} + (x^{-1})^2 = 529$$ $$x^2 + 2 + x^{-2} = 529 \implies x^2 + x^{-2} = 529 - 2 = 527$$

延伸問題 ②：求 $x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = \; ?$（$x > 1$ 的關鍵作用！）
利用差的完全平方展開： $$\left(x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = x - 2 + x^{-1} = (x + x^{-1}) - 2 = 23 - 2 = 21$$ 開平方根時有正負號 $\pm\sqrt{21}$，此時已知條件 $x > 1$ 發揮關鍵作用： $$x > 1 \implies x^{\frac{1}{2}} > 1 \text{ 且 } x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{1/2}} < 1$$ 大數減小數必定為正數：$x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} > 0$。
因此負不合，唯一解為正根：$+\sqrt{21}$！

第 5 題 • 高次對稱多項式（無跳步詳解版）

目標答案：$369$

已知 $2^x + 2^{-x} = 7$，則：

$$8^x + 4^x + 4^{-x} + 8^{-x} = \; ?$$

分組思想：二次項一組、三次項一組底數轉換：$4^x = (2^x)^2$、$8^x = (2^x)^3$

條列式無跳步推導步驟

將四項對稱分組為平方項 $(4^x + 4^{-x})$ 與立方項 $(8^x + 8^{-x})$ 分別求值

1 步驟一：同類對稱分組與底數化同

將原式的四個加項重新排序分組：

$$8^x + 4^x + 4^{-x} + 8^{-x} = (8^x + 8^{-x}) + (4^x + 4^{-x})$$

利用指數律將底數 $4$ 與 $8$ 全數化為底數 $2$ 的次方：

$4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2$
$4^{-x} = (2^2)^{-x} = 2^{-2x} = (2^{-x})^2$
$8^x = (2^3)^x = 2^{3x} = (2^x)^3$
$8^{-x} = (2^3)^{-x} = 2^{-3x} = (2^{-x})^3$

2 步驟二：求平方組 $(4^x + 4^{-x})$ 的值（詳細乘開移項）

將已知條件 $2^x + 2^{-x} = 7$ 兩邊取平方：

$$(2^x + 2^{-x})^2 = 7^2$$ $$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2 = 49$$ $$2^{2x} + 2 \cdot 2^{x + (-x)} + 2^{-2x} = 49$$ $$4^x + 2 \cdot 2^0 + 4^{-x} = 49$$ $$4^x + 2(1) + 4^{-x} = 49$$ $$4^x + 4^{-x} = 49 - 2 = 47$$

【得到第一組值】：$4^x + 4^{-x} = 47$

3 步驟三：求立方組 $(8^x + 8^{-x})$ 的值（公式展開代入）

根據立方和公式 $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$，令 $A = 2^x, B = 2^{-x}$：

$$8^x + 8^{-x} = (2^x)^3 + (2^{-x})^3$$ $$= (2^x + 2^{-x})\left[(2^x)^2 - 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2\right]$$ $$= (2^x + 2^{-x})\left(4^x - 1 + 4^{-x}\right)$$ $$= (2^x + 2^{-x})\left[(4^x + 4^{-x}) - 1\right]$$

將已知 $2^x + 2^{-x} = 7$ 與步驟二算出的 $4^x + 4^{-x} = 47$ 代入：

$$8^x + 8^{-x} = 7 \times (47 - 1) = 7 \times 46 = 322$$

【得到第二組值】：$8^x + 8^{-x} = 322$

4 步驟四：合併兩組結果求得最終總和

$$\text{原式} = (8^x + 8^{-x}) + (4^x + 4^{-x})$$ $$= 322 + 47$$ $$= 369$$

答案求得

$$8^x + 4^x + 4^{-x} + 8^{-x} = 369$$

第 6 題 • 立方和反求一階與一元二次解（無跳步詳解版）

第一格：$4$ 第二格：$2 \pm \sqrt{3}$

設 $a > 0$，若 $a^{3x} + a^{-3x} = 52$，則：

$$a^x + a^{-x} = \; ? \quad , \quad a^x = \; ?$$

核心：換元法 $t = a^x + a^{-x}$ 且 $t \ge 2$ 高次方程：$t^3 - 3t - 52 = 0$ 綜合除法因式分解求 $a^x$：解一元二次方程 $(a^x)^2 - 4a^x + 1 = 0$

條列式無跳步推導步驟

從未知設元、因式分解判別式檢驗、到一元二次公式解逐項展開

1 步驟一：令 $t = a^x + a^{-x}$ 並建立 $t$ 的三次方程式

因為底數 $a > 0$，所以 $a^x > 0$ 且 $a^{-x} > 0$。由算幾不等式： $$t = a^x + a^{-x} \ge 2\sqrt{a^x \cdot a^{-x}} = 2\sqrt{a^0} = 2 \implies t \ge 2$$

利用和的立方展開式 $(A + B)^3 = A^3 + B^3 + 3AB(A + B)$：

$$(a^x + a^{-x})^3 = a^{3x} + a^{-3x} + 3(a^x \cdot a^{-x})(a^x + a^{-x})$$ $$t^3 = 52 + 3(1)(t)$$ $$t^3 = 52 + 3t \implies t^3 - 3t - 52 = 0$$

2 步驟二：三次方程式因式分解與唯一實根驗證（無跳步綜合除法）

尋找常數項 $52$ 的正因數（$1, 2, 4, 13, 26, 52$）嘗試代入 $t^3 - 3t - 52$：

當 $t = 2$ 時：$2^3 - 3(2) - 52 = 8 - 6 - 52 = -50 \neq 0$
當 $t = 3$ 時：$3^3 - 3(3) - 52 = 27 - 9 - 52 = -34 \neq 0$
當 $t = 4$ 時：$4^3 - 3(4) - 52 = 64 - 12 - 52 = 0$（符合！因式為 $(t - 4)$）

利用長除法或綜合除法分解：

$$(t - 4)(t^2 + 4t + 13) = 0$$

檢驗二次項 $t^2 + 4t + 13 = 0$ 的判別式 $D$：

$$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(13) = 16 - 52 = -36 < 0$$

因為判別式小於 $0$，所以二次項無實數解。因此唯一實數解為：

【第一格解答】：$a^x + a^{-x} = 4$

3 步驟三：求 $a^x$（解一元二次方程式公式解）

由 $a^x + a^{-x} = 4$，改寫為倒數形式並等號兩邊同乘以 $a^x$：

$$a^x + \frac{1}{a^x} = 4$$ $$(a^x) \cdot (a^x) + 1 = 4 \cdot (a^x)$$ $$(a^x)^2 - 4(a^x) + 1 = 0$$

套用一元二次方程公式解 $u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a=1, b=-4, c=1$：

$$a^x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$$ $$= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$$ $$= \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{2} \pm \frac{2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$

※ 註：由於題目僅給 $a > 0$，並未指定 $a > 1$ 或 $x$ 的正負，若 $a^x = 2 + \sqrt{3}$，則 $a^{-x} = 2 - \sqrt{3}$，兩者互為倒數且和為 $4$；反之亦然。故兩解皆成立。

答案求得

$$a^x + a^{-x} = 4 \quad , \quad a^x = 2 \pm \sqrt{3}$$

第 7 題 • 半整數指數分式求值（無跳步詳解版）

目標答案：$\frac{18}{7}$

設 $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$，則：

$$\frac{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}}{a + a^{-1}} = \; ?$$

分母：平方關係 $(a^{1/2})^2 = a^1$ 分子：立方關係 $(a^{1/2})^3 = a^{3/2}$

條列式無跳步推導步驟

分步求解分母的一次方和與分子的 $\frac{3}{2}$ 次方和

1 步驟一：求分母 $a + a^{-1}$ 的值（兩邊取平方）

將已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ 兩側平方展開：

$$\left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = 3^2$$ $$\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} + \left(a^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = 9$$ $$a^1 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)} + a^{-1} = 9$$ $$a + 2 \cdot a^0 + a^{-1} = 9$$ $$a + 2(1) + a^{-1} = 9$$ $$a + a^{-1} = 9 - 2 = 7$$

【分母之值】：$a + a^{-1} = 7$

2 步驟二：求分子 $a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}$ 的值（立方公式展開）

令 $A = a^{\frac{1}{2}}, B = a^{-\frac{1}{2}}$，利用立方和公式 $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$：

$$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^3 + \left(a^{-\frac{1}{2}}\right)^3$$ $$= \left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)\left[\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 - a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} + \left(a^{-\frac{1}{2}}\right)^2\right]$$ $$= \left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)\left(a - 1 + a^{-1}\right)$$ $$= \left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)\left[(a + a^{-1}) - 1\right]$$

代入已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ 與步驟一求得的 $a + a^{-1} = 7$：

$$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = 3 \times (7 - 1) = 3 \times 6 = 18$$

【分子之值】：$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = 18$

3 步驟三：分子與分母相除求值

$$\frac{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}}{a + a^{-1}} = \frac{18}{7}$$

答案求得

$$\frac{18}{7} \quad \left(\text{帶分數 } 2\frac{4}{7}\right)$$

第 8 題 • 帶常數項的指數分式運算（無跳步詳解版）

目標答案：$2$

設 $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$，則：

$$\frac{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} + 2}{x + x^{-1} + 3} = \; ?$$

傳承第 7 題核心：$x + x^{-1} = 7$ 傳承第 7 題核心：$x^{3/2} + x^{-3/2} = 18$ 最後結合常數：$\frac{18+2}{7+3} = \frac{20}{10} = 2$

條列式無跳步推導步驟

先分別解出一次對稱和與三次對稱和，再加上常數後約分

1 步驟一：求 $x + x^{-1}$ 的值（平方展開）

已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$，等號兩端同時平方：

$$\left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = 3^2$$ $$\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2 + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} + \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = 9$$ $$x^1 + 2 \cdot x^0 + x^{-1} = 9$$ $$x + 2 + x^{-1} = 9$$ $$x + x^{-1} = 9 - 2 = 7$$

2 步驟二：求 $x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}$ 的值（立方和展開）

運用立方和展開公式：

$$x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = \left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)\left[\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2 - x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} + \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^2\right]$$ $$= \left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)\left(x - 1 + x^{-1}\right)$$ $$= 3 \times (7 - 1) = 3 \times 6 = 18$$

3 步驟三：代入分母與分子各項常數並除法化簡

① 分子總值： $$x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} + 2 = 18 + 2 = 20$$

② 分母總值： $$x + x^{-1} + 3 = 7 + 3 = 10$$

③ 原式最終除法： $$\frac{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} + 2}{x + x^{-1} + 3} = \frac{20}{10} = 2$$

答案求得

$$2$$

八大指數與根式題型全景速查對照表

點擊表格任一行即可直接切換至該題的無跳步詳解：

題號	題目條件	所求目標	核心破解策略	最終答案
第 1 題	$a^{2x} = \sqrt{2} + 1$	$\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^x+a^{-x}}$	立方和約分消去一階，化為 $a^{2x} - 1 + a^{-2x}$	$2\sqrt{2} - 1$
第 2 題	$a^{2x} = 7 - \sqrt{48}$	$a^{-x} = \frac{1}{a^x}$	湊 $2\sqrt{12}$ 完全平方式開根號得 $2 + \sqrt{3}$	$2 + \sqrt{3}$
第 3 題	$2^{2x} = 7$	$\frac{2^{3x}+2^{-3x}}{2^x+2^{-x}}$	立方和約分得 $2^{2x} - 1 + 2^{-2x} = 7 - 1 + \frac{1}{7}$	$\frac{43}{7}$
第 4 題	$x > 1,\, x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 5$	$x + x^{-1}$	兩邊平方 $(A+B)^2 = A^2+2+B^2$，移項 $25 - 2 = 23$	$23$
第 5 題	$2^x + 2^{-x} = 7$	$8^x + 4^x + 4^{-x} + 8^{-x}$	分拆為平方組 $(47)$ 與立方組 $(322)$ 相加	$369$
第 6 題	$a > 0,\, a^{3x} + a^{-3x} = 52$	$a^x + a^{-x}$ 與 $a^x$	換元 $t^3-3t-52=0 \implies t=4$；一元二次解 $2 \pm \sqrt{3}$	$4$ 與 $2 \pm \sqrt{3}$
第 7 題	$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$	$\frac{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}}{a + a^{-1}}$	平方求分母 $7$，立方求分子 $18$，相除得 $\frac{18}{7}$	$\frac{18}{7}$
第 8 題	$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$	$\frac{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} + 2}{x + x^{-1} + 3}$	分子 $18+2=20$，分母 $7+3=10$，相除整除為 $2$	$2$