這份 PDF 筆記在教什麼？
這份手寫筆記的核心主題是「分離變數法 (Separation of Variables)」。筆記透過由淺入深的 4 道代表性例題，示範如何將混雜在一起的 $x, y$ 微分方程拆開到等號兩側，並結合部分分式、圓的幾何意義、分部積分法、二倍角公式與指數律來求出通解與特解。
SOP 分離變數法「標準解題 4 步驟」條列解析
所有題目皆遵循此骨幹流程分離 $x$ 與 $y$（各歸各位）
- 將導數 $\frac{dy}{dx}$ 視為微分量之比。
- 透過乘除移項，把所有含 $y$ 的項與 $dy$ 放左邊，所有含 $x$ 的項與 $dx$ 放右邊。
- 若遇到 $e^{3x+4y}$，需先用指數律拆成 $e^{3x}\cdot e^{4y}$ 才能分離。
等號兩側同時取不定積分
- 有理分式 $\frac{1}{y^2-4}$ $\rightarrow$ 用部分分式展開。
- 多項式乘指數 $ye^{-y}$ $\rightarrow$ 用分部積分法。
- 三角分式 $\frac{\sin 2x}{\cos x}$ $\rightarrow$ 用二倍角公式約分。
整理通解 (General Solution)
- 兩邊積分只需在其中一邊加上常數 $+C$ 即可。
- 常數乘以倍數或取指數（如 $4c, 2c, e^{c_1}$）可吸收改寫為新常數 $C_1, C_2$，讓式子更簡潔。
- 善用對數合併 $\ln a - \ln b = \ln\left|\frac{a}{b}\right|$。
求特解 (Particular Solution)
- 若題目給定初始條件 $y(x_0) = y_0$（例如 P.3 的 $y(4)=-3$ 或 P.4 的 $y(0)=0$）。
- 將 $x=x_0, y=y_0$ 代入通解中解出未知常數 $C$ 的確切數值。
- 把 $C$ 代回原式，即得唯一特解曲線。
🗺️ PDF 筆記各頁內容與考點對照地圖（點擊可直接跳轉詳解）
- 核心技巧：平方差因式分解 $(y+2)(y-2)$ ＋ 部分分式待定係數法求 $A, B$。
- 代數化簡：對數相減合併為 $\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right|$，再兩邊同取指數 $e^{(\cdot)}$ 消去 $\ln$。
- 核心技巧：多項式基本積分 $\int y\,dy = -\int x\,dx$ ＋ 初始值問題 (IVP)。
- 幾何意義：通解 $x^2 + y^2 = C_1^2$ 為同心圓族，代入 $(4,-3)$ 得半徑為 $5$ 的圓。
- 核心技巧：左式拆項為 $e^y - ye^{-y}$ 並使用分部積分法；右式用二倍角公式 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ 約分。
- 易錯提醒：負號括號分配律與 $x=0, y=0$ 代入時 $e^0=1, \cos 0=1$ 的計算。
- 原筆記進度：已利用 $e^{3x+4y}=e^{3x}e^{4y}$ 分離至 $\frac{y\,dy}{e^{4y}} = x e^{3x}dx$，並標註「分部積分法」。
- 本網頁補全：完整補上左右兩側 $\int y e^{-4y}dy$ 與 $\int x e^{3x}dx$ 的分部積分推導與列表法秒殺技巧！
⚡ PDF 手寫旁註公式與微積分基本功總整理
在你的 PDF 筆記空白處，寫了許多關鍵的預備公式（對數律、平方差、微分湊項、二倍角、指數律）。以下以條列式完整歸納：
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1. 平方差因式分解（P.2 右側旁註）$$y^2 - 4 = (y+2)(y-2)$$
• 用途：當分母為二次多項式 $\frac{1}{y^2-a^2}$ 時，必須先因式分解才能拆成兩個一次分式 $\frac{A}{y+a} + \frac{B}{y-a}$ 進行積分。
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2. 對數相減合併律 & 指數還原律（P.2 右側旁註）$$\ln a - \ln b = \ln\left(\frac{a}{b}\right), \qquad e^{\ln|u|} = |u|$$
• 用途：將 $-\ln|y+2| + \ln|y-2|$ 合併為單一對數 $\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right|$，方便等號兩邊同取指數 $e^{(\cdot)}$ 把絕對值內的分式解放出來。
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3. 同底數指數相乘拆解律（P.4、P.6 頂部旁註）$$e^{a+b} = e^a \cdot e^b, \qquad \frac{1}{e^{ky}} = e^{-ky}$$
• 用途：遇到 $e^{3x+4y}$ 必須先拆成 $e^{3x}\cdot e^{4y}$ 才能分離變數；遇到分母有 $e^{4y}$ 移到分子時要記得指數變負號 $e^{-4y}$。
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4. 分部積分法與「湊微分」技巧（P.4 右側旁註）$$\int u\,dv = uv - \int v\,du, \qquad d(e^{-y}) = -e^{-y}\,dy$$
• 筆記亮點解析：你在 P.4 寫了 $d(e^{-y}) = -e^{-y}dy$，這叫做「湊微分法」——直接把 $e^{-y}dy$ 換成 $-d(e^{-y})$，就不用額外設變數 $v$，是非常俐落的寫法！
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5. 正弦二倍角公式（P.5 頂部旁註）$$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$
• 用途：當積分遇到 $\int \frac{\sin 2x}{\cos x}dx$ 時，角度不同（$2x$ 與 $x$）無法直接積分，展開後即可消去分母的 $\cos x$。
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6. 一般圓的標準方程式（P.3 底部旁註）$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \quad \text{（圓心 }(a,b)\text{，半徑 }r\text{）}$$
• 幾何直覺：$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ 代表圓上任一點 $(x,y)$ 的切線斜率與半徑斜率 $\frac{y}{x}$ 乘積為 $-1$（切線垂直於半徑）。
🎯 筆記重點隨堂快問快答（共 5 題）
針對這份 PDF 筆記中最容易出錯的符號、係數與積分步驟進行自我檢測
✍️ 分離變數法・經典例題實戰與列印中心（共 8 題）
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